(1.0) Calcule lim n infty 3 bn+1-bn+4^-n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso envolve o conceito de limites de sequências, que é parte da matemática que estuda o comportamento de uma sequência à medida que seus termos vão aumentando. Para resolver isso, vamos precisar entender o que acontece com cada termo da expressão quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a sequência limn to infty bn = L e limn to infty bn+1 = L converge para algum valor quando tende ao infinito. Isso significa que tanto quanto vão se aproximar desse valor conforme aumenta. Então, podemos dizer que:

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse conceito ao limite que precisamos calcular:
limn to infty (3bn+1 - bn + 4^-n)
Substituindo os limites dos termos 3 cdot L - L + limn to infty 4^-n e por , temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, limn to infty 4^-n = 0 . Agora, precisamos ver o que acontece com quando tende ao infinito. Sabemos que , e conforme aumenta, cresce muito rápido, então vai se aproximar de 0. Portanto:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão, temos:
2L + 0 = 2L
Então, o limite da expressão original é .

Resposta

limn to infty (3bn+1 - bn + 4^-n) = 2L
onde .

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