(1.0) Determine se a série é absolutamente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente precisa verificar se a soma dos valores absolutos dos termos dessa série converge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de convergência de séries e testes de convergência que envolvem fatoriais e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão . Supondo que os sejam números positivos, podemos simplificar a análise focando na comparação entre e . Sabemos que o fatorial cresce rapidamente, mas cresce ainda mais rápido.
Passo 4
Para comparar o crescimento de e , podemos usar o teste da raiz ou o teste da razão. Vamos optar pelo teste da razão, que é muitas vezes mais fácil de aplicar aqui.
Passo 5
O teste da razão diz que, para a série , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 6
Aplicando o teste da razão na nossa série:
Calculamos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 8
Como , pelo teste da razão, a série converge absolutamente.