(1.0) Determine se a série sumn=1^infty (-1)^n n ! n^n b1 b2 b3 ldots bn é absolutamente convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente precisa verificar se a soma dos valores absolutos dos termos dessa série converge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de convergência de séries e testes de convergência que envolvem fatoriais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série sumn=1^infty | (-1)^n n!n^n b1 b2 b3 ldots bn | = sumn=1^infty n!n^n b1 b2 b3 ldots bn é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge. No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Supondo que os sejam números positivos, podemos simplificar a análise focando na comparação entre e . Sabemos que o fatorial cresce rapidamente, mas cresce ainda mais rápido.

Passo 4

Para comparar o crescimento de e , podemos usar o teste da raiz ou o teste da razão. Vamos optar pelo teste da razão, que é muitas vezes mais fácil de aplicar aqui.

Passo 5

O teste da razão diz que, para a série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 6

Aplicando o teste da razão na nossa série:
an = n!n^n b1 b2 ldots bn
Calculamos:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 1n+1 ( nn+1 )^n tende ao infinito:
( nn+1 )^n = ( 1 - 1n+1 )^n approx 1e
Sabemos que:
L = limn to infty 1n+1 cdot 1e = 0
Portanto:

Passo 8

Como , pelo teste da razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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