(1.0) Determine se a série é absolutamente convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente precisa verificar se a soma dos valores absolutos dos termos dessa série converge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de convergência de séries e testes de convergência que envolvem fatoriais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge. No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Supondo que os sejam números positivos, podemos simplificar a análise focando na comparação entre e . Sabemos que o fatorial cresce rapidamente, mas cresce ainda mais rápido.

Passo 4

Para comparar o crescimento de e , podemos usar o teste da raiz ou o teste da razão. Vamos optar pelo teste da razão, que é muitas vezes mais fácil de aplicar aqui.

Passo 5

O teste da razão diz que, para a série , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 6

Aplicando o teste da razão na nossa série:
Calculamos:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 8

Como , pelo teste da razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados

Resolva o sistema fazendo 4 iterações pelo método de Gauss-Seidel com e determine o erro para as 4 iterações. Em toda a tabela, fazer o arredondamento com precisão de casas decimais.

0
1
2
3
4
Considerando a função , calcule o que se pede.
Utilizando os resultados do item anterior, encontre o zero real da função com o método de NewtonRaphson:
com precisão . No preenchimento da tabela abaixo e no resultado, arredondar em 8 casas decimais.
1
2
3
4
Resposta:
(1.0) Calcule .
(1.5) Considere o problema de resolver a equação pelo método de Newton. Determine o valor de que faz com que a sequência gerada pelo método oscile indefinidamente entre .