(3.0 pontos) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série .
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica para determinar onde uma série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que se o limite da razão entre termos consecutivos da série for menor que 1, a série converge. A fórmula do teste é:
Onde é o termo geral da série.
Passo 3
Vamos calcular esse limite para a nossa série:
an = 2^n(x-3)^nraizn+3
Então,
Tomando o limite quando an+1an = 2^n+1(x-3)^n+1raizn+4 cdot raizn+32^n(x-3)^n = 2|x-3| cdot raizn+3n+4 vai para o infinito:
L = limn to infty 2|x-3| cdot raizn+3n+4 = 2|x-3| cdot 1 = 2|x-3|
Passo 4
Para a série convergir, precisamos que 2|x-3| < 1 implies |x-3| < 12 :
Passo 5
O que isso significa é que o raio de convergência é .
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabendo que 3 - 12 < x < 3 + 12 implies 2.5 < x < 3.5 , temos:
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .