(3.0 pontos) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty 2^n(x-3)^nraizn+3.

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica para determinar onde uma série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que se o limite da razão entre termos consecutivos da série for menor que 1, a série converge. A fórmula do teste é:
L = limn to infty | an+1an |
Onde é o termo geral da série.

Passo 3

Vamos calcular esse limite para a nossa série:
an = 2^n(x-3)^nraizn+3
Então,
Tomando o limite quando an+1an = 2^n+1(x-3)^n+1raizn+4 cdot raizn+32^n(x-3)^n = 2|x-3| cdot raizn+3n+4 vai para o infinito:
L = limn to infty 2|x-3| cdot raizn+3n+4 = 2|x-3| cdot 1 = 2|x-3|

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que 2|x-3| < 1 implies |x-3| < 12 :

Passo 5

O que isso significa é que o raio de convergência é .

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabendo que 3 - 12 < x < 3 + 12 implies 2.5 < x < 3.5 , temos:

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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