(3.0 pontos) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série .
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar o **raio** e o **intervalo de convergência** da série . Para isso, vamos usar o **Teste da Razão**, que é uma técnica para determinar onde uma série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o **Teste da Razão**. Esse teste nos diz que se o limite da razão entre termos consecutivos da série for menor que 1, a série converge. A fórmula do teste é:
Onde é o termo geral da série.
Passo 3
Vamos calcular esse limite para a nossa série:
Então,
Extra close brace or missing open brace \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}(x-3)^{n+1}}{\sqrt{n+4}} \cdot \frac{\sqrt{n+3}}{2^{n}(x-3)^{n}}} = 2|x-3| \cdot \sqrt{\frac{n+3}{n+4}}
Tomando o limite quando vai para o infinito:
Passo 4
Para a série convergir, precisamos que :
Passo 5
O que isso significa é que o **raio de convergência** é .
Passo 6
Agora, vamos determinar o **intervalo de convergência**. Sabendo que , temos:
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .