(1.5) Considere o problema de resolver a equação pelo método de Newton. Determine o valor de que faz com que a sequência gerada pelo método oscile indefinidamente entre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa resolver a equação usando o Método de Newton. O objetivo é encontrar um valor inicial que faça com que a sequência de aproximações gerada pelo método oscile para sempre entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender como o Método de Newton funciona e aplicar algumas propriedades de funções simétricas.

Passo 2

Primeiro, o Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de equações. A fórmula do Método de Newton é:
Aqui, é a derivada de . No nosso caso, a equação que queremos resolver é , então podemos reescrever a fórmula do Método de Newton como:

Passo 3

Queremos que a sequência oscile entre e . Isso significa que:
Vamos aplicar a fórmula do Método de Newton para encontrar essas condições.

Passo 4

Primeiro, calculamos :
Rearranjando essa equa�o:
Portanto:

Passo 5

Agora, calculamos :
Substituindo :
Então:

Passo 6

Agora, temos duas equações:
Para que a sequência oscile, queremos que e . Isso ocorre se for uma função ímpar, ou seja, .

Passo 7

Assumindo que é ímpar, substituímos na segunda equação:
Comparando com a primeira equação:
Temos:
Isso implica que:

Passo 8

Se , voltamos à primeira equação:
Portanto:

Passo 9

Agora, sabemos que e . Para determinar , precisamos de mais informações sobre a função . Sem uma função específica, a solução geral é expressa em termos de .

Resposta

Portanto, o valor de que faz com que a sequência gerada pelo Método de Newton oscile indefinidamente entre e satisfaz a condição .

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(1.5) Considere o problema de determinar o ponto sobre o gráfico de que está mais próximo do ponto . Explique como o método de Newton pode ser usado para resolver o problema e, considerando , faça uma iteração do método para estimar .