(1.5) Considere o problema de resolver a equação f(x)+1=0 pelo método de Newton. Determine o valor de x0 que faz com que a sequência gerada pelo método oscile indefinidamente entre x0 e-x0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa resolver a equação usando o Método de Newton. O objetivo é encontrar um valor inicial que faça com que a sequência de aproximações gerada pelo método oscile para sempre entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender como o Método de Newton funciona e aplicar algumas propriedades de funções simétricas.

Passo 2

Primeiro, o Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de equações. A fórmula do Método de Newton é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, xn+1 = xn - f(xn) + 1f'(xn) é a derivada de . No nosso caso, a equação que queremos resolver é , então podemos reescrever a fórmula do Método de Newton como:

Passo 3

Queremos que a sequência oscile entre x1 = -x0 e x2 = x0 e . Isso significa que:
Vamos aplicar a fórmula do Método de Newton para encontrar essas condições.

Passo 4

Primeiro, calculamos x1 = x0 - f(x0) + 1f'(x0) = -x0 :
x0 - (-x0) = f(x0) + 1f'(x0) implies 2x0 = f(x0) + 1f'(x0)
Rearranjando essa equa�o:
f(x0) + 1 = 2x0 f'(x0)
Portanto:

Passo 5

Agora, calculamos x2 = x1 - f(x1) + 1f'(x1) = x0 :
-x0 - x0 = f(-x0) + 1f'(-x0) implies -2x0 = f(-x0) + 1f'(-x0)
Substituindo f(-x0) + 1 = -2x0 f'(-x0) :
Então:

Passo 6

Agora, temos duas equações:
Para que a sequência oscile, queremos que e . Isso ocorre se for uma função ímpar, ou seja, .

Passo 7

Assumindo que -f(x0) + 1 = -2x0 (-f'(x0)) implies -f(x0) + 1 = 2x0 f'(x0) é ímpar, substituímos na segunda equação:
f(x0) + 1 = 2x0 f'(x0)
Comparando com a primeira equação:
-f(x0) + 1 = f(x0) + 1
Temos:
- f(x0) = f(x0) implies f(x0) = 0
Isso implica que:

Passo 8

Se 0 + 1 = 2x0 f'(x0) implies 2x0 f'(x0) = 1 , voltamos à primeira equação:
f'(x0) = 12x0
Portanto:

Passo 9

Agora, sabemos que e . Para determinar , precisamos de mais informações sobre a função . Sem uma função específica, a solução geral é expressa em termos de .

Resposta

Portanto, o valor de que faz com que a sequência gerada pelo Método de Newton oscile indefinidamente entre e satisfaz a condição .

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