(1.5) Considere o problema de resolver a equação
pelo método de Newton. Determine o valor de
que faz com que a sequência gerada pelo método oscile indefinidamente entre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa resolver a equação
usando o Método de Newton. O objetivo é encontrar um valor inicial
que faça com que a sequência de aproximações gerada pelo método oscile para sempre entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Método de Newton funciona e aplicar algumas propriedades de funções simétricas.
Passo 2
Primeiro, o Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de equações. A fórmula do Método de Newton é:
Aqui,
é a derivada de
. No nosso caso, a equação que queremos resolver é
, então podemos reescrever a fórmula do Método de Newton como:
Passo 3
Queremos que a sequência oscile entre
e
. Isso significa que:
Vamos aplicar a fórmula do Método de Newton para encontrar essas condições.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Rearranjando essa equa�o:
Portanto:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Substituindo
:
Então:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
Para que a sequência oscile, queremos que
e
. Isso ocorre se
for uma função ímpar, ou seja,
.
Passo 7
Assumindo que
é ímpar, substituímos na segunda equação:
Comparando com a primeira equação:
Temos:
Isso implica que:
Passo 8
Se
, voltamos à primeira equação:
Portanto:
Passo 9
Agora, sabemos que
e
. Para determinar
, precisamos de mais informações sobre a função
. Sem uma função específica, a solução geral é expressa em termos de
.
Resposta
Portanto, o valor de
que faz com que a sequência gerada pelo Método de Newton oscile indefinidamente entre
e
satisfaz a condição
.
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.
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é absolutamente convergente.
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.
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que está mais próximo do ponto
. Explique como o método de Newton pode ser usado para resolver o problema e, considerando
, faça uma iteração do método para estimar
.