Resolva o sistema A x=b fazendo 4 iterações pelo método de Gauss-Seidel com x^(0)=[lll0 & 0 & 0]^T e determine o erro para as 4 iterações. Em toda a tabela, fazer o arredondamento com precisão de 4 casas decimais.
S3 Rightarrow A x=b Rightarrowc9 x1+4 x2-2 x3=-15 -2 x1+7 x2+3 x3=50 2 x1-2 x2+5 x3=8
cccx1^(k+1) & = & b1-(a12 x2^(k)+a13 x3^(k)+a14 x4^(k)+cdots+a1 n xn^(k))a11 x2^(k+1) & = & b2-(a21 x1^(k+1)+a23 x3^(k)+a24 x4^(k)+cdots+a2 n xn^(k))a22 x3^(k+1) & = & b3-(a31 x1^(k+1)+a32 x2^(k+1)+a34 x4^(k)+cdots+a3 n xn^(k))a33 vdots & vdots xn^(k+1) & = & bn-(an 1 x1^(k+1)+an 2 x2^(k+1)+an 3 x3^(k+1)+cdots+an(n-1) x(n-1)^(k+1))an n
k x1^(k) x2^(k) x3^(k) Má1 <= i <= 3|xi^(k)-xi^(k-1)|
0
1
2
3
4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações 0 0 0 usando o método de Gauss-Seidel. A ideia é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações do sistema. Vamos fazer isso em 4 iterações, começando com a suposição inicial . Para isso, vamos precisar das fórmulas de atualização do método de Gauss-Seidel e arredondar os resultados para 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações do sistema para isolar cada variável:
x1^(k+1) = -15 - 4x2^(k) + 2x3^(k)9 x2^(k+1) = 50 + 2x1^(k+1) - 3x3^(k)7 x3^(k+1) = 8 - 2x1^(k+1) + 2x2^(k+1)5
Começamos com 0 0 0 .

Passo 3

Iteração 1 ( x1^(1) = -15 - 4(0) + 2(0)9 = -159 = -1.6667 x2^(1) = 50 + 2(-1.6667) - 3(0)7 = 50 - 3.33347 = 46.66667 = 6.6667 x3^(1) = 8 - 2(-1.6667) + 2(6.6667)5 = 8 + 3.3334 + 13.33345 = 24.66685 = 4.9334 )
Calculamos cada variável usando os valores da iteração anterior ( Erro = max | -1.6667 - 0 |, | 6.6667 - 0 |, | 4.9334 - 0 | = 6.6667 ):
Calculando o erro máximo:

Passo 4

Iteração 2 ( -1.6667 6.6667 4.9334 )
Usando x1^(2) = -15 - 4(6.6667) + 2(4.9334)9 = -15 - 26.6668 + 9.86689 = -31.89 = -3.5333 x2^(2) = 50 + 2(-3.5333) - 3(4.9334)7 = 50 - 7.0666 - 14.80027 = 28.13327 = 4.0190 x3^(2) = 8 - 2(-3.5333) + 2(4.0190)5 = 8 + 7.0666 + 8.03805 = 23.10465 = 4.6209 :
Erro = max | -3.5333 - (-1.6667) |, | 4.0190 - 6.6667 |, | 4.6209 - 4.9334 | = 2.6477
Calculando o erro máximo:

Passo 5

Iteração 3 ( -3.5333 4.0190 4.6209 )
Usando x1^(3) = -15 - 4(4.0190) + 2(4.6209)9 = -15 - 16.0760 + 9.24189 = -21.83429 = -2.4260 x2^(3) = 50 + 2(-2.4260) - 3(4.6209)7 = 50 - 4.8520 - 13.86277 = 31.28537 = 4.4693 x3^(3) = 8 - 2(-2.4260) + 2(4.4693)5 = 8 + 4.8520 + 8.93865 = 21.79065 = 4.3581 :
Erro = max | -2.4260 - (-3.5333) |, | 4.4693 - 4.0190 |, | 4.3581 - 4.6209 | = 1.1073
Calculando o erro máximo:

Passo 6

Iteração 4 ( -2.4260 4.4693 4.3581 )
Usando x1^(4) = -15 - 4(4.4693) + 2(4.3581)9 = -15 - 17.8772 + 8.71629 = -24.16109 = -2.6823 x2^(4) = 50 + 2(-2.6823) - 3(4.3581)7 = 50 - 5.3646 - 13.07437 = 31.56117 = 4.5087 x3^(4) = 8 - 2(-2.6823) + 2(4.5087)5 = 8 + 5.3646 + 9.01745 = 22.38205 = 4.4764 :
Erro = max | -2.6823 - (-2.4260) |, | 4.5087 - 4.4693 |, | 4.4764 - 4.3581 | = 0.2563
Calculando o erro máximo:

Resposta

Após 4 iterações pelo método de Gauss-Seidel, os valores aproximados são:
|c|c|c|c|c| hline k & x1^(k) & x2^(k) & x3^(k) & Erro Máximo hline 0 & 0.0000 & 0.0000 & 0.0000 & - 1 & -1.6667 & 6.6667 & 4.9334 & 6.6667 2 & -3.5333 & 4.0190 & 4.6209 & 2.6477 3 & -2.4260 & 4.4693 & 4.3581 & 1.1073 4 & -2.6823 & 4.5087 & 4.4764 & 0.2563 hline á

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