Calcule: lim x 1 (3-x^3)^4-16x^3-1 R=-32

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Isso envolve o cálculo de limites e manipulação algébrica. Vamos precisar aplicar propriedades de limites e talvez fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que, quando se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0, resultando em uma forma indeterminada . Isso sugere que podemos usar a regra de L’Hospital ou tentar fatorar para simplificar.

Passo 3

Vamos tentar fatorar o denominador . Sabemos que pode ser fatorado como .

Passo 4

Agora, vamos analisar o numerador . Podemos reescrever como , mas isso não facilita muito. Em vez disso, vamos perceber que se aproxima de quando se aproxima de , pois .

Passo 5

Para simplificar o numerador, vamos usar uma expansão de binômio ou buscar uma fatoração que possa cancelar com o denominador. Porém, essa abordagem pode ser complicada, então vamos optar pela regra de L’Hospital, já que temos uma forma .

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador em relação a ddx [(3 - x^3)^4 - 16] = 4(3 - x^3)^3 cdot (-3x^2) = -12x^2(3 - x^3)^3 :
Derivada do numerador:
ddx (x^3 - 1) = 3x^2
Derivada do denominador:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital:
limx 1 -12x^2(3 - x^3)^33x^2 = limx 1 -12(3 - x^3)^33 = limx 1 -4(3 - x^3)^3

Passo 8

Substituímos -4(3 - 1^3)^3 = -4(3 - 1)^3 = -4(2)^3 = -4 times 8 = -32 na expressão simplificada:

Resposta

O valor do limite é .

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