Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Isso envolve o cálculo de limites e manipulação algébrica. Vamos precisar aplicar propriedades de limites e talvez fatoração para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que, quando
se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0, resultando em uma forma indeterminada
. Isso sugere que podemos usar a regra de L’Hospital ou tentar fatorar para simplificar.
Passo 3
Vamos tentar fatorar o denominador
. Sabemos que
pode ser fatorado como
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o numerador
. Podemos reescrever
como
, mas isso não facilita muito. Em vez disso, vamos perceber que
se aproxima de
quando
se aproxima de
, pois
.
Passo 5
Para simplificar o numerador, vamos usar uma expansão de binômio ou buscar uma fatoração que possa cancelar com o denominador. Porém, essa abordagem pode ser complicada, então vamos optar pela regra de L’Hospital, já que temos uma forma
.
Passo 6
Aplicando a regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital:
Passo 8
Substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O valor do limite é
.