Prove que:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um limite envolvendo uma expressão com radicais e queremos provar que ele é igual a . O conteúdo aqui envolve limites e propriedades de funções. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e calcular o limite quando se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão do limite para facilitar a manipulação:
Passo 3
Para lidar com os radicais no denominador, uma boa estratégia é racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar e dividir pela expressão conjugada para eliminar os radicais. O conjugado de é .
Passo 4
Vamos multiplicar e dividir a expressão original pelo conjugado:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o numerador usando a identidade :
Passo 6
Simplificando os quadrados:
Então,
Passo 7
Vamos simplificar a diferença de frações no numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 8
Observe que o no numerador e o fora se cancelam:
Passo 9
Agora, como tende a 0, podemos substituir por 0 nas expressões que não causam indeterminação:
Passo 10
Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Assim:
Passo 11
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto,
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Seja , tal que . Provar usando a definição de limite que .
Seja , tal que . Prove que é contínua em .
Calcule:
Calcule: