Prove que:
lim h 0 1h(1raizx+h-1raizx)=-12|x| raizx

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um limite envolvendo uma expressão com radicais e queremos provar que ele é igual a . O conteúdo aqui envolve limites e propriedades de funções. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e calcular o limite quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão do limite para facilitar a manipulação:
lim h 0 1h(1raizx+h-1raizx)

Passo 3

Para lidar com os radicais no denominador, uma boa estratégia é racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar e dividir pela expressão conjugada para eliminar os radicais. O conjugado de é .

Passo 4

Vamos multiplicar e dividir a expressão original pelo conjugado:
lim h 0 1h(1raizx+h-1raizx) times 1raizx+h+1raizx1raizx+h+1raizx

Passo 5

Agora, vamos simplificar o numerador usando a identidade lim h 0 1h times (1raizx+h)^2 - (1raizx)^21raizx+h+1raizx :

Passo 6

Simplificando os quadrados:
(1raizx+h)^2 = 1x+h e (1raizx)^2 = 1x
Então,
lim h 0 1h times 1x+h - 1x1raizx+h+1raizx

Passo 7

Vamos simplificar a diferença de frações no numerador:
1x+h - 1x = x - (x+h)x(x+h) = -hx(x+h)
Então, a expressão fica:
lim h 0 1h times -hx(x+h) div (1raizx+h+1raizx)

Passo 8

Observe que o lim h 0 -1x(x+h) div (1raizx+h+1raizx) no numerador e o fora se cancelam:

Passo 9

Agora, como -1x(x+0) div (1raizx+0+1raizx) = -1x^2 div (2raizx) tende a 0, podemos substituir por 0 nas expressões que não causam indeterminação:

Passo 10

Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Assim:
-1x^2 times raizx2 = -raizx2x^2

Passo 11

Simplificando a expressão:
-raizx2x^2 = -12x^3/2 = -12x raizx

Resposta

Portanto,
lim h 0 1h(1raizx+h-1raizx) = -12|x| raizx

Exercícios relacionados