Prove que:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um limite envolvendo uma expressão com radicais e queremos provar que ele é igual a . O conteúdo aqui envolve limites e propriedades de funções. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e calcular o limite quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão do limite para facilitar a manipulação:

Passo 3

Para lidar com os radicais no denominador, uma boa estratégia é racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar e dividir pela expressão conjugada para eliminar os radicais. O conjugado de é .

Passo 4

Vamos multiplicar e dividir a expressão original pelo conjugado:

Passo 5

Agora, vamos simplificar o numerador usando a identidade :

Passo 6

Simplificando os quadrados: Então,

Passo 7

Vamos simplificar a diferença de frações no numerador: Então, a expressão fica:

Passo 8

Observe que o no numerador e o fora se cancelam:

Passo 9

Agora, como tende a 0, podemos substituir por 0 nas expressões que não causam indeterminação:

Passo 10

Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Assim:

Passo 11

Simplificando a expressão:

Resposta

Portanto,

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Seja , tal que . Provar usando a definição de limite que .
Seja , tal que . Prove que é contínua em .
Calcule:
Calcule: