Calcule: lim x 0 raiz3 x+1-1x(R=32)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso envolve o conteúdo de limites e funções radicais. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e eliminar a raiz no numerador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão:
limx 0 raiz3x + 1 - 1x
Se substituirmos diretamente, teremos , que é uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites com raízes é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raiz3x + 1 - 1x times raiz3x + 1 + 1raiz3x + 1 + 1 = (raiz3x + 1 - 1)(raiz3x + 1 + 1)x(raiz3x + 1 + 1) é . Vamos fazer isso:

Passo 4

No numerador, aplicamos a identidade (raiz3x + 1)^2 - (1)^2 = (3x + 1) - 1 = 3x :
3xx(raiz3x + 1 + 1)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar o 3xx(raiz3x + 1 + 1) = 3raiz3x + 1 + 1 no numerador e no denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo 3raiz3(0) + 1 + 1 = 3raiz1 + 1 = 31 + 1 = 32 :

Resposta

O limite é .

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