Seja , tal que . Provar usando a definição de limite que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida para todos os números reais, exceto quando (porque aí o denominador dá zero e a função não está definida). O objetivo é provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 1, o valor de se aproxima de 5. Vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função . Se tentarmos substituir diretamente, a gente vai ter , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a função para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador . A ideia é encontrar dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são 2 e -3.

Passo 4

Agora, reescrevemos o numerador usando esses números:
Em seguida, agrupamos os termos:
Fatorando , temos:

Passo 5

Agora, substituímos o numerador fatorado na função original:
Podemos cancelar o termo no numerador e denominador, desde que :

Passo 6

Agora que simplificamos a função para , podemos calcular o limite quando se aproxima de 1 substituindo diretamente:

Resposta

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Seja , tal que . Prove que é contínua em .
Seja , tal que . Provar usando a definição de limite que
Prove que:
Calcule: