Seja
, tal que
. Provar usando a definição de limite que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida para todos os números reais, exceto quando
(porque aí o denominador dá zero e a função não está definida). O objetivo é provar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de 1, o valor de
se aproxima de 5. Vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar a definição formal de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função
. Se tentarmos substituir
diretamente, a gente vai ter
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a função para encontrar o limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos fatorar o numerador
. A ideia é encontrar dois números que multiplicados dão
e que somados dão
. Esses números são 2 e -3.
Passo 4
Agora, reescrevemos o numerador usando esses números:
Em seguida, agrupamos os termos:
Fatorando
, temos:
Passo 5
Agora, substituímos o numerador fatorado na função original:
Podemos cancelar o termo
no numerador e denominador, desde que
:
Passo 6
Agora que simplificamos a função para
, podemos calcular o limite quando
se aproxima de 1 substituindo diretamente:
Resposta
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Seja
, tal que
. Prove que
é contínua em
.
Seja
, tal que
. Provar usando a definição de limite que
Prove que:
Calcule: