Seja f: R-1 R, tal que f(x)=3 x^2-x-2x-1. Provar usando a definição de limite que lim x 1 f(x)=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida para todos os números reais, exceto quando (porque aí o denominador dá zero e a função não está definida). O objetivo é provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 1, o valor de se aproxima de 5. Vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar a definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função . Se tentarmos substituir diretamente, a gente vai ter , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a função para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador . A ideia é encontrar dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são 2 e -3.

Passo 4

Agora, reescrevemos o numerador usando esses números:
3x^2 - x - 2 = 3x^2 + 2x - 3x - 2
Em seguida, agrupamos os termos:
= (3x^2 + 2x) + (-3x - 2) = x(3x + 2) -1(3x + 2)
Fatorando = (x - 1)(3x + 2) , temos:

Passo 5

Agora, substituímos o numerador fatorado na função original:
f(x) = (x - 1)(3x + 2)x - 1
Podemos cancelar o termo f(x) = 3x + 2 para x neq 1 no numerador e denominador, desde que :

Passo 6

Agora que simplificamos a função para limx to 1 f(x) = limx to 1 (3x + 2) = 3(1) + 2 = 5 , podemos calcular o limite quando se aproxima de 1 substituindo diretamente:

Resposta

limx to 1 f(x) = 5

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