Calcule: lim x 1 raiz[3]x-1raiz[4]x-1(R=43)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema usa conceitos de limites e funções radicais. Precisamos entender como as funções se comportam próximo de .

Passo 2

Primeiro, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando se aproxima de 1. Isso nos dá uma forma indeterminada , o que nos permite usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se ou , então podemos calcular . Vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Derivando o numerador:
f(x) = raiz[3]x = x^1/3 implies f'(x) = 13x^-2/3 = 13raiz[3]x^2
Derivando o denominador:
g(x) = raiz[4]x = x^1/4 implies g'(x) = 14x^-3/4 = 14raiz[4]x^3

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital:
lim x 1 raiz[3]x-1raiz[4]x-1 = lim x 1 f'(x)g'(x) = lim x 1 13raiz[3]x^214raiz[4]x^3

Passo 6

Simplificando a fração:
13raiz[3]x^214raiz[4]x^3 = 4raiz[4]x^33raiz[3]x^2

Passo 7

Agora, substituímos 4raiz[4]1^33raiz[3]1^2 = 4 times 13 times 1 = 43 :

Resposta

O limite é .

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