Determine os valores de e para que:
e

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite:
Queremos encontrar os valores de e que fazem esse limite ser igual a . Para isso, vamos usar conceitos de limites e álgebra para resolver as incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão para ver o que acontece com o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Vimos que o denominador fica igual a zero quando . Para que o limite exista e seja igual a , o numerador também precisa ser zero nesse ponto. Isso evita a indeterminação .
Então, igualamos o numerador a zero:

Passo 3

Agora que sabemos que , substituímos esse valor de volta na expressão original para encontrar :
Numerador com :
Denominador:
Sabemos que quando , tanto o numerador quanto o denominador são zero. Para resolver isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador e então calcular o limite.
Vamos calcular as derivadas:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Queremos que esse limite seja igual a :

Resposta

e .

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Calcule:
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Se, , determine e
Determine os limites se: