Determine os valores de
e
para que:
e
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite:
Queremos encontrar os valores de
e
que fazem esse limite ser igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e álgebra para resolver as incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver o que acontece com o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Vimos que o denominador fica igual a zero quando
. Para que o limite exista e seja igual a
, o numerador também precisa ser zero nesse ponto. Isso evita a indeterminação
.
Então, igualamos o numerador a zero:
Passo 3
Agora que sabemos que
, substituímos esse valor de volta na expressão original para encontrar
:
Numerador com
:
Denominador:
Sabemos que quando
, tanto o numerador quanto o denominador são zero. Para resolver isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador e então calcular o limite.
Vamos calcular as derivadas:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Queremos que esse limite seja igual a
:
Resposta
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Calcule:
Calcule:
Se,
, determine
e
Determine os limites se: