Determine os valores de a e b para que:
lim x 1 a x^2+(3 a+1) x+3b x^2+(2-b) x-2=32
R: a=-1 e b=--143

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite:
lim x 1 a x^2 + (3 a + 1) x + 3b x^2 + (2 - b) x - 2 = 32
Queremos encontrar os valores de e que fazem esse limite ser igual a . Para isso, vamos usar conceitos de limites e álgebra para resolver as incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a cdot 1^2 + (3a + 1) cdot 1 + 3 = a + 3a + 1 + 3 = 4a + 4 na expressão para ver o que acontece com o numerador e o denominador:
Numerador:
b cdot 1^2 + (2 - b) cdot 1 - 2 = b + 2 - b - 2 = 0
Denominador:
4a + 4 = 0 4a = -4 a = -1
Vimos que o denominador fica igual a zero quando . Para que o limite exista e seja igual a , o numerador também precisa ser zero nesse ponto. Isso evita a indeterminação .
Então, igualamos o numerador a zero:

Passo 3

Agora que sabemos que -1 cdot x^2 + (3(-1) + 1) cdot x + 3 = -x^2 - 2x + 3 , substituímos esse valor de volta na expressão original para encontrar b cdot x^2 + (2 - b) cdot x - 2 :
Numerador com ddx(-x^2 - 2x + 3) = -2x - 2 :
ddx(b x^2 + (2 - b) x - 2) = 2b x + (2 - b)
Denominador:
limx to 1 -2x - 22b x + (2 - b) = -2(1) - 22b(1) + (2 - b) = -4b + 2
Sabemos que quando -4b + 2 = 32 -8 = 3b + 6 (mu, tanto o numerador quanto o denominador são zero. Para resolver isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador e então calcular o limite.
Vamos calcular as derivadas:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Queremos que esse limite seja igual a :

Resposta

e .

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