Calcule o limite de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite
. Esse exercício tá ligado ao cálculo de limites, especialmente envolvendo funções trigonométricas como o seno. Pra resolver, vamos precisar usar a série de Taylor da função seno, que nos ajuda a expandir funções em potências de
quando
está perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função
em torno de 0. A série é assim:
Aqui,
e
, mas como vamos trabalhar com
bem pequeno (tendo em vista o limite quando
se aproxima de 0), os termos de potências maiores de
acabam ficando bem pequenos e podem ser ignorados na nossa aproximação.
Passo 3
Agora, vamos substituir a série de
na nossa expressão original:
Simplificando essa expressão, a gente tem:
Os outros termos com potências maiores de
(
,
, etc.) vão facilitar a gente a calcular o limite porque se tornam insignificantes quando
tende a zero.
Passo 4
Agora, substituindo de volta na expressão do limite:
Dividindo cada termo do numerador por
, a expressão fica:
Como
está indo para 0, os termos que contêm potências maiores de
vão para zero. Assim, o que sobra é a constante
.
Resposta
O limite é
.
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de
a
.
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a
.