Calcule o limite de limx to 0 x - sin xx^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite . Esse exercício tá ligado ao cálculo de limites, especialmente envolvendo funções trigonométricas como o seno. Pra resolver, vamos precisar usar a série de Taylor da função seno, que nos ajuda a expandir funções em potências de quando está perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Taylor da função sin x = x - x^33! + x^55! - cdots em torno de 0. A série é assim:
Aqui, e , mas como vamos trabalhar com bem pequeno (tendo em vista o limite quando se aproxima de 0), os termos de potências maiores de acabam ficando bem pequenos e podem ser ignorados na nossa aproximação.

Passo 3

Agora, vamos substituir a série de x - sin x = x - (x - x^36 + cdots) na nossa expressão original:
x - sin x = x - x + x^36 - cdots = x^36 - cdots
Simplificando essa expressão, a gente tem:
Os outros termos com potências maiores de ( , , etc.) vão facilitar a gente a calcular o limite porque se tornam insignificantes quando tende a zero.

Passo 4

Agora, substituindo de volta na expressão do limite:
limx to 0 x - sin xx^3 = limx to 0 x^36 - cdotsx^3
Dividindo cada termo do numerador por limx to 0 ( 16 - cdots ) , a expressão fica:
Como está indo para 0, os termos que contêm potências maiores de vão para zero. Assim, o que sobra é a constante .

Resposta

O limite é .

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