Calcule os Limites (1,0)
[a] lim x 2 x^2-4raizx-2-raiz2 x-4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular . Aqui, estamos lidando com limites, um conceito fundamental no cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para evitar a indeterminação que aparece quando substituímos diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se tentarmos substituir 2^2-4raiz2-2-raiz2 cdot 2 -4 = 4-4raiz0-raiz0 = 00 diretamente na expressão:
Isso resulta em uma indeterminação do tipo , então precisamos de outra estratégia para resolver o limite. Uma técnica útil nesse caso é racionalizar o denominador.

Passo 3

Vamos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de x^2-4raizx-2-raiz2x-4 cdot raizx-2 + raiz2x-4raizx-2 + raiz2x-4 é . Assim, multiplicamos a fração por :

Passo 4

No numerador, aplicamos a propriedade distributiva:
(x^2-4)(raizx-2 + raiz2x-4)
No denominador, usamos a identidade (raizx-2)^2 - (raiz2x-4)^2 = (x - 2) - (2x - 4) = x - 2 - 2x + 4 = -x + 2 :
(x^2-4)(raizx-2 + raiz2x-4)-x + 2
Então, a expressão fica:

Passo 5

Vamos simplificar x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Sabemos que (x - 2)(x + 2)(raizx-2 + raiz2x-4)-x + 2 é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado:
(x - 2)(x + 2)(raizx-2 + raiz2x-4)-(x - 2) = -(x + 2)(raizx-2 + raiz2x-4)1
Substituindo isso na fração:
-(x + 2)(raizx-2 + raiz2x-4)
Note que , então podemos reescrever o denominador:
Os termos cancelam:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo raiz2 - 2 = raiz0 = 0 :
Primeiro, observe que raiz2 cdot 2 - 4 = raiz4 - 4 = raiz0 = 0 e -(2 + 2)(0 + 0) = -4 cdot 0 = 0 simplificam:
Então, a expressão fica:

Resposta

O limite é igual a 0.

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