Calcule os Limites
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.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular
. Aqui, estamos lidando com limites, um conceito fundamental no cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para evitar a indeterminação que aparece quando substituímos
diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece se tentarmos substituir
diretamente na expressão:
Isso resulta em uma indeterminação do tipo
, então precisamos de outra estratégia para resolver o limite. Uma técnica útil nesse caso é racionalizar o denominador.
Passo 3
Vamos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de
é
. Assim, multiplicamos a fração por
:
Passo 4
No numerador, aplicamos a propriedade distributiva:
No denominador, usamos a identidade
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Vamos simplificar
. Sabemos que
é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado:
Substituindo isso na fração:
Note que
, então podemos reescrever o denominador:
Os termos
cancelam:
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite substituindo
:
Primeiro, observe que
e
simplificam:
Então, a expressão fica:
Resposta
O limite é igual a 0.