(a) A que número entre 0 e 6 é congruente módulo 7 o produto 11 cdot 18 cdot 2322 cdot 13 cdot 19 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre congruência modular! O enunciado pede para descobrir a que número entre 0 e 6 o produto é congruente módulo 7. Basicamente, queremos saber o resto da divisão desse produto por 7. Para resolver isso, vamos usar propriedades de congruência que facilitam os cálculos sem precisar multiplicar tudo de uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser congruente módulo 7. Dois números são congruentes módulo 7 se eles tiverem o mesmo resto quando divididos por 7. Por exemplo, 10 e 3 são congruentes módulo 7 porque 10 dividido por 7 dá resto 3, e 3 dividido por 7 também dá resto 3. Vamos aplicar isso a cada um dos fatores do nosso produto.

Passo 3

Vamos calcular cada número do produto modulo 7:
  • :
    Dividindo 11 por 7, o resto é 4. Então, .
  • :
    Dividindo 18 por 7, o resto é 4. Então, .
  • :
    Para facilitar, dividimos 2322 por 7:
    com resto 5. Então, .
  • :
    Dividindo 13 por 7, o resto é 6. Então, .
  • :
    Dividindo 19 por 7, o resto é 5. Então, .

Passo 4

Agora que temos cada fator reduzido módulo 7, podemos multiplicar esses restos para encontrar o resultado final:
4 times 4 times 5 times 6 times 5
Vamos calcular passo a passo:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar 2400 div 7 = 342 com resto 6 , ou seja, o resto de 2400 dividido por 7.
Vamos dividir 2400 por 7:
Então, .

Resposta

O número entre 0 e 6 que é congruente a módulo 7 é 6.

Exercícios relacionados