Determine o resto das divisões
(a) de
por 7 .
(a) de
Passo 1
A gente tem um exercício onde precisamos descobrir qual é o resto da divisão de
por 7. Esse tipo de problema está relacionado à aritmética modular, que nos ajuda a encontrar restos de divisões de números grandes de forma mais fácil. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de potências e restos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que calcular
diretamente seria complicado, então vamos procurar um padrão nos restos das potências de 2 quando divididas por 7. Isso se chama ciclo de restos.
Passo 3
Vamos calcular os restos das primeiras potências de 2 divididas por 7:
Passo 4
Observamos que os restos se repetem a cada 3 potências: 2, 4, 1, 2, 4, 1, e assim por diante. Isso significa que o ciclo tem comprimento 3.
Passo 5
Agora, vamos ver em que posição
cai nesse ciclo. Para isso, dividimos o expoente 50 pelo comprimento do ciclo (3):
Passo 6
O resto 2 nos indica que
tem o mesmo resto que
quando dividido por 7. Como vimos anteriormente:
Resposta
O resto da divisão de
por 7 é 4.
Exercícios relacionados
(a) A que número entre 0 e 6 é congruente módulo 7 o produto
?
Resolva as seguintes equações diofantinas
(b) .
(b)
Calcule os Limites
[a] .
[a]
Sejam
e
inteiros não nulos. Mostre que
(a) Se e
, então
.
(a) Se