Determine o resto das divisões
(a) de 2^50 por 7 .

Passo 1

A gente tem um exercício onde precisamos descobrir qual é o resto da divisão de por 7. Esse tipo de problema está relacionado à aritmética modular, que nos ajuda a encontrar restos de divisões de números grandes de forma mais fácil. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de potências e restos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que calcular diretamente seria complicado, então vamos procurar um padrão nos restos das potências de 2 quando divididas por 7. Isso se chama ciclo de restos.

Passo 3

Vamos calcular os restos das primeiras potências de 2 divididas por 7:
2^1 &equiv 2 mod 7 2^2 &= 4 equiv 4 mod 7 2^3 &= 8 equiv 1 mod 7 2^4 &= 16 equiv 2 mod 7 2^5 &= 32 equiv 4 mod 7 2^6 &= 64 equiv 1 mod 7

Passo 4

Observamos que os restos se repetem a cada 3 potências: 2, 4, 1, 2, 4, 1, e assim por diante. Isso significa que o ciclo tem comprimento 3.

Passo 5

Agora, vamos ver em que posição 50 div 3 = 16 com resto 2 cai nesse ciclo. Para isso, dividimos o expoente 50 pelo comprimento do ciclo (3):

Passo 6

O resto 2 nos indica que 2^2 equiv 4 mod 7 tem o mesmo resto que quando dividido por 7. Como vimos anteriormente:

Resposta

O resto da divisão de por 7 é 4.

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