Use o algoritmo de Euclides para obter os números
e
satisfazendo:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o Algoritmo de Euclides para encontrar os números
e
que satisfazem a equação
. O que isso significa é que precisamos achar o maior divisor comum de 24 e 138, e também descobrir quais coeficientes multiplicados por 24 e 138 dão esse mdc. Vamos precisar fazer divisões sucessivas para encontrar o mdc e depois usar o Algoritmo de Euclides Estendido para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o máximo divisor comum (mdc) de 24 e 138 usando o Algoritmo de Euclides. Esse algoritmo funciona fazendo divisões sucessivas até chegar a um resto zero. O último resto diferente de zero será o mdc.
Vamos lá:
Agora, usamos 24 e 18:
E agora, usamos 18 e 6:
Quando chegamos a resto zero, o último resto diferente de zero foi 6. Então, o
.
Passo 3
Agora que sabemos que o mdc é 6, vamos encontrar os coeficientes
e
tais que
. Para isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido, que nos ajuda a expressar o mdc como uma combinação linear dos números originais.
Vamos reverter os passos que fizemos para encontrar o mdc:
-
Última divisão com resto diferente de zero:
-
Substituindo o valor de 18 da primeira divisão:
Então, os coeficientes são
e
.
Resposta
Os números que satisfazem
são
e
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
inteiros não nulos. Mostre que
(a) Se e
, então
.
(a) Se
Calcule os Limites
[a] .
[a]
Calcule os Limites
Demonstre que a fatoração em primos do teorema fundamental da aritmética é única. (Suponha que tenhamos duas fatorações de um natural em primos. Aí use o exercício 15 para mostrar que estas fatorações são a menos de permutação de primos iguais.)