Use o algoritmo de Euclides para obter os números r e s satisfazendo:
(b) m d c(24,138)=24 r+138 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o Algoritmo de Euclides para encontrar os números e que satisfazem a equação . O que isso significa é que precisamos achar o maior divisor comum de 24 e 138, e também descobrir quais coeficientes multiplicados por 24 e 138 dão esse mdc. Vamos precisar fazer divisões sucessivas para encontrar o mdc e depois usar o Algoritmo de Euclides Estendido para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o máximo divisor comum (mdc) de 24 e 138 usando o Algoritmo de Euclides. Esse algoritmo funciona fazendo divisões sucessivas até chegar a um resto zero. O último resto diferente de zero será o mdc.
Vamos lá:
138 div 24 = 5 com resto 138 - 5 times 24 = 138 - 120 = 18
Agora, usamos 24 e 18:
24 div 18 = 1 com resto 24 - 1 times 18 = 24 - 18 = 6
E agora, usamos 18 e 6:
18 div 6 = 3 com resto 18 - 3 times 6 = 18 - 18 = 0
Quando chegamos a resto zero, o último resto diferente de zero foi 6. Então, o .

Passo 3

Agora que sabemos que o mdc é 6, vamos encontrar os coeficientes 24 = 1 times 18 + 6 Rightarrow 6 = 24 - 1 times 18 e 18 = 138 - 5 times 24 Rightarrow 6 = 24 - 1 times (138 - 5 times 24) tais que 6 = 24 - 1 times 138 + 5 times 24 . Para isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido, que nos ajuda a expressar o mdc como uma combinação linear dos números originais.
Vamos reverter os passos que fizemos para encontrar o mdc:
  1. Última divisão com resto diferente de zero:
    6 = 6 times 24 - 1 times 138
  2. Substituindo o valor de 18 da primeira divisão:
Então, os coeficientes são e .

Resposta

Os números que satisfazem 6 = 24 times 6 + 138 times (-1) são e .

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