Use o algoritmo de Euclides para obter os números e satisfazendo:
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o Algoritmo de Euclides para encontrar os números e que satisfazem a equação . O que isso significa é que precisamos achar o maior divisor comum de 24 e 138, e também descobrir quais coeficientes multiplicados por 24 e 138 dão esse mdc. Vamos precisar fazer divisões sucessivas para encontrar o mdc e depois usar o Algoritmo de Euclides Estendido para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o máximo divisor comum (mdc) de 24 e 138 usando o Algoritmo de Euclides. Esse algoritmo funciona fazendo divisões sucessivas até chegar a um resto zero. O último resto diferente de zero será o mdc.
Vamos lá:
Agora, usamos 24 e 18:
E agora, usamos 18 e 6:
Quando chegamos a resto zero, o último resto diferente de zero foi 6. Então, o .

Passo 3

Agora que sabemos que o mdc é 6, vamos encontrar os coeficientes e tais que . Para isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido, que nos ajuda a expressar o mdc como uma combinação linear dos números originais.
Vamos reverter os passos que fizemos para encontrar o mdc:
  1. Última divisão com resto diferente de zero:
  2. Substituindo o valor de 18 da primeira divisão:
Então, os coeficientes são e .

Resposta

Os números que satisfazem são e .

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Sejam e inteiros não nulos. Mostre que
(a) Se e , então .
Calcule os Limites
[a] .
Calcule os Limites
Demonstre que a fatoração em primos do teorema fundamental da aritmética é única. (Suponha que tenhamos duas fatorações de um natural em primos. Aí use o exercício 15 para mostrar que estas fatorações são a menos de permutação de primos iguais.)