Sejam
e
inteiros não nulos. Mostre que
(a) Se
e
, então
.
(a) Se
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três números inteiros não nulos:
,
e
. A questão quer que mostremos que, se
divide
(isto é,
) e o máximo divisor comum de
e
é 1 (
), então o máximo divisor comum de
e
também é 1 (
).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e como calcular o máximo divisor comum (mdc). Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que existe um inteiro
tal que
. Em outras palavras,
é um divisor de
.
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que os únicos divisores comuns de
e
são
e
. Em termos simples,
e
não têm nenhum divisor comum além de 1.
Passo 4
Agora, queremos provar que
. Para isso, vamos usar o fato de que
divide
, ou seja,
.
Passo 5
Vamos supor que existe um número
que divide tanto
quanto
. Então,
também deve dividir
, porque
e
divide
.
Passo 6
Mas sabemos que
, o que significa que o único divisor comum de
e
é
. Portanto,
só pode ser
.
Passo 7
Assim, o único número que divide tanto
quanto
é
. Isso confirma que
.
Resposta
Portanto, mostramos que se
e
, então
.
Exercícios relacionados
Calcule os Limites
[a] .
[a]
Determine o resto das divisões
(a) de por 7 .
(a) de
Use o algoritmo de Euclides para obter os números
e
satisfazendo:
(b) .
(b)
Calcule os Limites