Sejam e inteiros não nulos. Mostre que
(a) Se e , então .

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos três números inteiros não nulos: , e . A questão quer que mostremos que, se divide (isto é, ) e o máximo divisor comum de e é 1 ( ), então o máximo divisor comum de e também é 1 ( ).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e como calcular o máximo divisor comum (mdc). Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que existe um inteiro tal que . Em outras palavras, é um divisor de .

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que os únicos divisores comuns de e são e . Em termos simples, e não têm nenhum divisor comum além de 1.

Passo 4

Agora, queremos provar que . Para isso, vamos usar o fato de que divide , ou seja, .

Passo 5

Vamos supor que existe um número que divide tanto quanto . Então, também deve dividir , porque e divide .

Passo 6

Mas sabemos que , o que significa que o único divisor comum de e é . Portanto, só pode ser .

Passo 7

Assim, o único número que divide tanto quanto é . Isso confirma que .

Resposta

Portanto, mostramos que se e , então .

Exercícios relacionados

Calcule os Limites
[a] .
Determine o resto das divisões
(a) de por 7 .
Use o algoritmo de Euclides para obter os números e satisfazendo:
(b) .
Calcule os Limites