Calcule os Limites
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Este exercício envolve o estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar as propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite:
Encontramos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Fatorando o numerador
:
Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Fatorando o denominador
:
Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Passo 4
Agora, substituímos o numerador e o denominador fatorados na expressão original:
Podemos cancelar o fator comum
:
Passo 5
Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o algoritmo de Euclides para obter os números
e
satisfazendo:
(b) .
(b)
Sejam
e
inteiros não nulos. Mostre que
(a) Se e
, então
.
(a) Se
Demonstre que a fatoração em primos do teorema fundamental da aritmética é única. (Suponha que tenhamos duas fatorações de um natural em primos. Aí use o exercício 15 para mostrar que estas fatorações são a menos de permutação de primos iguais.)
Determine todas as soluções nos inteiros positivos das seguintes equações
(b) .
(b)