Calcule os Limites (1,0)
[c] lim x -1 2 x^2+3 x+1x^2-2 x-3

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve o estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2(-1)^2 + 3(-1) + 1(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 2(1) - 3 + 11 + 2 - 3 = 2 - 3 + 10 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Fatorando o numerador 2x^2 + 3x + 1 = 2x^2 + 2x + x + 1 = (2x^2 + 2x) + (x + 1) = 2x(x + 1) + 1(x + 1) = (2x + 1)(x + 1) :
Procuramos dois números que multiplicados dão x^2 - 2x - 3 = x^2 - 3x + x - 3 = (x^2 - 3x) + (x - 3) = x(x - 3) + 1(x - 3) = (x + 1)(x - 3) e somados dão . Esses números são e .
Fatorando o denominador :
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .

Passo 4

Agora, substituímos o numerador e o denominador fatorados na expressão original:
2x^2 + 3x + 1x^2 - 2x - 3 = (2x + 1)(x + 1)(x + 1)(x - 3)
Podemos cancelar o fator comum 2x + 1x - 3 :

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo 2(-1) + 1-1 - 3 = -2 + 1-4 = -1-4 = 14 :

Resposta

O limite é igual a .

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