Calcule os Limites

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve o estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Fatorando o numerador :
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Fatorando o denominador :
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .

Passo 4

Agora, substituímos o numerador e o denominador fatorados na expressão original:
Podemos cancelar o fator comum :

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Use o algoritmo de Euclides para obter os números e satisfazendo:
(b) .
Sejam e inteiros não nulos. Mostre que
(a) Se e , então .
Demonstre que a fatoração em primos do teorema fundamental da aritmética é única. (Suponha que tenhamos duas fatorações de um natural em primos. Aí use o exercício 15 para mostrar que estas fatorações são a menos de permutação de primos iguais.)
Determine todas as soluções nos inteiros positivos das seguintes equações
(b) .