Demonstre que a fatoração em primos do teorema fundamental da aritmética é única. (Suponha que tenhamos duas fatorações de um natural em primos. Aí use o exercício 15 para mostrar que estas fatorações são a menos de permutação de primos iguais.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar que a fatoração de um número natural em primos, que é o famoso Teorema Fundamental da Aritmética, é única. Isso significa que, independente de como a gente fatora um número em primos, a lista de primos será sempre a mesma, só pode mudar a ordem deles. Para isso, vamos precisar entender o que são números primos, como funcionam as fatorações e usar um exercício anterior (o exercício 15) que nos ajuda a comparar essas fatorações.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que temos um número natural qualquer, digamos
, que pode ser fatorado de duas maneiras diferentes usando apenas números primos. Vamos chamar essas fatorações de:
e
Aqui, todos os
e
são números primos.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que essas duas listas de primos são, na verdade, as mesmas, apenas em uma ordem diferente. Para isso, vamos usar uma propriedade importante dos números primos: se um primo divide o produto de outros números, ele divide pelo menos um desses números. Isso é conhecido como o Lema da Divisão dos Primos.
Passo 4
Aplicando esse lema à nossa primeira fatoração, sabemos que
divide o produto
. Então, pelo lema,
deve dividir pelo menos um dos
. Mas como
e
são primos, isso só acontece se
.
Passo 5
Sem perda de generalidade, vamos supor que
. Então, podemos “cancelar” esse primo das duas fatorações:
Agora, temos uma fatoração menor para o mesmo número. Repetindo o mesmo argumento,
deve ser igual a algum
restante, e assim por diante.
Passo 6
Continuando esse processo até chegar aos últimos fatores, concluímos que
e que todo
corresponde a um
, apenas em uma ordem diferente. Portanto, as duas fatorações são, na verdade, compostas pelos mesmos números primos, só que organizados de forma diferente.
Resposta
Assim, demonstramos que a fatoração em primos do Teorema Fundamental da Aritmética é única, ou seja, qualquer número natural maior que 1 pode ser escrito de maneira única como produto de primos, ignorando a ordem dos fatores.