Determine todas as soluções nos inteiros positivos das seguintes equações
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação 123x + 360y = 99. O objetivo é encontrar todas as soluções onde x e y são números inteiros positivos. Esse tipo de problema cai na categoria de equações diofantinas lineares, que são equações do tipo ax + by = c onde a, b e c são números inteiros, e a gente quer encontrar valores inteiros para x e y.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se essa equação tem solução para x e y inteiros. Para isso, vamos calcular o máximo divisor comum (MDC) de 123 e 360. Se o MDC dividir o termo do lado direito (99), então a equação tem soluções inteiras.
Passo 3
Calculando o MDC de 123 e 360:
- 360 dividido por 123 dá 2 com resto 114.
- 123 dividido por 114 dá 1 com resto 9.
- 114 dividido por 9 dá 12 com resto 6.
- 9 dividido por 6 dá 1 com resto 3.
- 6 dividido por 3 dá 2 com resto 0.
Então, o MDC(123, 360) = 3.
Passo 4
Agora, verificamos se 99 é divisível por 3:
Como 33 é um número inteiro, a equação tem soluções inteiras.
Passo 5
Para encontrar as soluções, vamos simplificar a equação dividindo tudo por 3:
Vamos tentar resolver para x:
Para que x seja um número inteiro, o numerador (33 - 120y) precisa ser divisível por 41.
Passo 6
Vamos tentar encontrar valores de y que satisfaçam essa condição. Testando valores inteiros positivos para y:
-
Se y = 1:
→ x não é inteiro positivo. -
Se y = 0:
→ x não é inteiro. -
Valores maiores de y só vão tornar x mais negativo, o que não atende à condição de serem positivos.
Passo 7
Como não encontramos nenhum valor inteiro positivo para y que resulte em um x inteiro positivo, concluímos que não existem soluções na categoria de inteiros positivos para a equação dada.
Resposta
Não existem soluções em números inteiros positivos para a equação
.
Exercícios relacionados
Demonstre que a fatoração em primos do teorema fundamental da aritmética é única. (Suponha que tenhamos duas fatorações de um natural em primos. Aí use o exercício 15 para mostrar que estas fatorações são a menos de permutação de primos iguais.)
Calcule os Limites
Seja
um interiro. Mostre que
(a) é congruente a 0,1 ou 4 módulo 8 .
(a)
Sejam
e
inteiros não nulos. Mostre que
© Sejam e
relativamente primos e
tal que
e
, então
.
© Sejam