Determine todas as soluções nos inteiros positivos das seguintes equações
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação 123x + 360y = 99. O objetivo é encontrar todas as soluções onde x e y são números inteiros positivos. Esse tipo de problema cai na categoria de equações diofantinas lineares, que são equações do tipo ax + by = c onde a, b e c são números inteiros, e a gente quer encontrar valores inteiros para x e y.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se essa equação tem solução para x e y inteiros. Para isso, vamos calcular o máximo divisor comum (MDC) de 123 e 360. Se o MDC dividir o termo do lado direito (99), então a equação tem soluções inteiras.

Passo 3

Calculando o MDC de 123 e 360:
  • 360 dividido por 123 dá 2 com resto 114.
  • 123 dividido por 114 dá 1 com resto 9.
  • 114 dividido por 9 dá 12 com resto 6.
  • 9 dividido por 6 dá 1 com resto 3.
  • 6 dividido por 3 dá 2 com resto 0.
Então, o MDC(123, 360) = 3.

Passo 4

Agora, verificamos se 99 é divisível por 3:
Como 33 é um número inteiro, a equação tem soluções inteiras.

Passo 5

Para encontrar as soluções, vamos simplificar a equação dividindo tudo por 3:
Vamos tentar resolver para x:
Para que x seja um número inteiro, o numerador (33 - 120y) precisa ser divisível por 41.

Passo 6

Vamos tentar encontrar valores de y que satisfaçam essa condição. Testando valores inteiros positivos para y:
  • Se y = 1:
    x não é inteiro positivo.
  • Se y = 0:
    x não é inteiro.
  • Valores maiores de y só vão tornar x mais negativo, o que não atende à condição de serem positivos.

Passo 7

Como não encontramos nenhum valor inteiro positivo para y que resulte em um x inteiro positivo, concluímos que não existem soluções na categoria de inteiros positivos para a equação dada.

Resposta

Não existem soluções em números inteiros positivos para a equação .

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