Calcule os limites lim x -infty(2 raiz[3]x+1-raiz[3]8 x-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando tende a menos infinito de . Então, estamos lidando com limites envolvendo funções de raiz cúbica. Para resolver isso, vamos precisar entender como as raízes cúbicas se comportam quando fica muito grande em valor negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo separadamente. Quando raiz[3]x + 1 e raiz[3]8x - 3 tende a menos infinito, e também vão para menos infinito. Sabemos que a raiz cúbica de um número negativo também é negativa. Então, temos:
Vamos focar em simplificar essas expressões para entender melhor o comportamento delas.

Passo 3

Vamos fatorar raiz[3]x + 1 = raiz[3]x (1 + 1x) de dentro das raízes cúbicas. Para raiz[3]8x - 3 = raiz[3]8x (1 - 38x) , podemos escrever:
E para :
Isso nos ajuda a ver como cada termo se comporta quando é muito grande em magnitude negativa.

Passo 4

Lembrando que raiz[3]x (1 + 1x) = raiz[3]x cdot raiz[3]1 + 1x , podemos separar os fatores:
raiz[3]8x (1 - 38x) = raiz[3]8x cdot raiz[3]1 - 38x
Agora, vamos simplificar e .

Passo 5

Sabemos que raiz[3]x + 1 = raiz[3]x cdot raiz[3]1 + 1x , já que raiz[3]8x - 3 = 2 raiz[3]x cdot raiz[3]1 - 38x .
Então, substituindo de volta nas expressões:

Passo 6

Agora, vamos substituir essas expressões na função original:
2 raiz[3]x + 1 - raiz[3]8x - 3 = 2 ( raiz[3]x cdot raiz[3]1 + 1x ) - ( 2 raiz[3]x cdot raiz[3]1 - 38x )
Podemos fatorar = 2 raiz[3]x ( raiz[3]1 + 1x - raiz[3]1 - 38x ) para simplificar:

Passo 7

Agora, vamos analisar o que acontece dentro dos parênteses quando raiz[3]1 + 1x approx raiz[3]1 = 1 tende a menos infinito. Os termos raiz[3]1 - 38x approx raiz[3]1 = 1 e raiz[3]1 + 1x - raiz[3]1 - 38x approx 1 - 1 = 0 tendem a zero. Então:
Portanto, a diferença dentro dos parênteses tende a zero:

Passo 8

Mas precisamos ser mais precisos para encontrar o comportamento desse limite. Usando a aproximação de primeira ordem para a raiz cúbica quando raiz[3]1 + y approx 1 + y3 é pequeno:
raiz[3]1 + 1x approx 1 + 13x
Aplicando isso aos nossos termos:
raiz[3]1 - 38x approx 1 - 324x = 1 - 18x

Passo 9

Substituindo de volta na expressão dentro dos parênteses:
raiz[3]1 + 1x - raiz[3]1 - 38x approx (1 + 13x) - (1 - 18x) = 13x + 18x = 1124x

Passo 10

Agora, substituímos de volta na expressão principal:
2 raiz[3]x cdot 1124x = 2224 cdot raiz[3]xx = 1112 cdot 1x^2/3
Quando tende a menos infinito, tende a zero, pois o denominador cresce sem limite.

Resposta

Portanto, o limite é:
boxed0

Exercícios relacionados