Calcule os limites

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando tende a menos infinito de . Então, estamos lidando com limites envolvendo funções de raiz cúbica. Para resolver isso, vamos precisar entender como as raízes cúbicas se comportam quando fica muito grande em valor negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo separadamente. Quando tende a menos infinito, e também vão para menos infinito. Sabemos que a raiz cúbica de um número negativo também é negativa. Então, temos:
Vamos focar em simplificar essas expressões para entender melhor o comportamento delas.

Passo 3

Vamos fatorar de dentro das raízes cúbicas. Para , podemos escrever:
E para :
Isso nos ajuda a ver como cada termo se comporta quando é muito grande em magnitude negativa.

Passo 4

Lembrando que , podemos separar os fatores:
Agora, vamos simplificar e .

Passo 5

Sabemos que , já que .
Então, substituindo de volta nas expressões:

Passo 6

Agora, vamos substituir essas expressões na função original:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 7

Agora, vamos analisar o que acontece dentro dos parênteses quando tende a menos infinito. Os termos e tendem a zero. Então:
Portanto, a diferença dentro dos parênteses tende a zero:

Passo 8

Mas precisamos ser mais precisos para encontrar o comportamento desse limite. Usando a aproximação de primeira ordem para a raiz cúbica quando é pequeno:
Aplicando isso aos nossos termos:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão dentro dos parênteses:

Passo 10

Agora, substituímos de volta na expressão principal:
Quando tende a menos infinito, tende a zero, pois o denominador cresce sem limite.

Resposta

Portanto, o limite é:

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