(1.0) Suponha que o sistema linear do item anterior seja resolvido por um método iterativo do tipo Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel. É possível garantir a convergência de qualquer um desses métodos considerando a disposição original de equações do sistema? Justifique.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar se os métodos iterativos Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel garantem a convergência quando aplicados ao sistema linear fornecido no item anterior, mantendo a disposição original das equações. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e quais são as condições que asseguram que eles vão dar certo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os métodos Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Ambos são métodos iterativos usados para resolver sistemas lineares da forma
. A ideia é começar com uma estimativa inicial para
e ir refinando essa estimativa passo a passo.
No método Gauss-Jacobi, a próxima iteração de cada variável depende apenas dos valores da iteração anterior. Já no Gauss-Seidel, a gente usa os valores mais recentes já calculados na mesma iteração, o que geralmente acelera a convergência.
Passo 3
Agora, para que esses métodos realmente “funcionem” ou, seja, para que eles consigam chegar numa solução com precisão, algumas condições precisam ser atendidas. A principal condição que a gente costuma verificar é a “diagonal dominante” da matriz
.
Uma matriz é dita diagonalmente dominante se, em cada linha, o valor absoluto do elemento da diagonal principal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros elementos daquela linha. Em outras palavras:
Essa condição ajuda a garantir que os métodos iterativos vão convergir para a solução correta.
Passo 4
Então, voltando ao enunciado: será que, mantendo a disposição original das equações do sistema, a matriz
atende a essa condição de diagonal dominante? Se sim, então sim, a gente pode garantir a convergência de qualquer um dos métodos, Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel.
Porém, se a matriz não é diagonalmente dominante na disposição original, pode ser que ela se torne diagonalmente dominante se a gente rearranjar as equações. Mas, sem rearranjar, a convergência não é garantida.
Passo 5
Além da diagonal dominante, existem outras condições mais técnicas envolvendo os autovalores da matriz ou a norma da matriz que também podem garantir a convergência. Porém, a diagonal dominante é a condição mais comum e fácil de verificar.
Resposta
Não, não é possível garantir a convergência dos métodos Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel apenas com a disposição original das equações do sistema. Para assegurar a convergência, a matriz do sistema precisa, geralmente, ser diagonalmente dominante ou atender a outras condições específicas. Se a disposição original não satisfaz essas condições, pode ser necessário rearranjar as equações para garantir que os métodos iterativos funcionem corretamente.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de
usando seus conhecimentos de limites para calcular os limites de
quando
tende a 2 ou -2 pela esquerda ou pela direita e quando
tende a
.
Calcule os limites
Seja
uma sequência de números positivos que converge para
. Calcule
.
Calcular as integrais indefinidas a seguir.