Esboce o gráfico de usando seus conhecimentos de limites para calcular os limites de quando tende a 2 ou -2 pela esquerda ou pela direita e quando tende a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar o que a gente sabe sobre limites para entender o comportamento da função perto de certos valores de e quando tende ao infinito. Vamos precisar entender conceitos de limites, assíntotas verticais e horizontais para fazer um esboço completo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os limites quando se aproxima de 2. Isso é importante porque o denominador se aproxima de zero quando chega perto de 2, o que pode indicar uma assíntota vertical.
Calculando:
Isso mostra que há uma assíntota vertical em , e a função vai para menos infinito pela esquerda e para mais infinito pela direita desse ponto.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para se aproximando de -2. O denominador também se torna zero quando é -2.
Calculando:
Então, temos outra assíntota vertical em . A função vai para mais infinito pela esquerda e para menos infinito pela direita desse ponto.

Passo 4

Vamos agora ver o que acontece quando tende a mais e menos infinito. Isso nos ajuda a identificar se existe alguma assíntota horizontal.
Calculando:
Isso indica que há uma assíntota horizontal em . A função se aproxima de zero tanto para indo para mais infinito quanto para menos infinito.

Resposta

Resumindo, o gráfico de possui duas assíntotas verticais em e , onde a função tende a ou dependendo do lado da aproxima��ão. Além disso, há uma assíntota horizontal em , indicando que a função se aproxima de zero para muito grande ou muito pequeno. Com essas informações, você pode esboçar o gráfico considerando esses comportamentos e sabendo que a função nunca cruza as linhas das assíntotas verticais.

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