Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo nas folhas de plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos. No experimento A, inicialmente, das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o porcentual de plantas atacadas aumentou para . Já no experimento B, a observação iniciou-se com das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, já eram .
Considere que o porcentual de plantas atacadas pelo fungo sempre cresce exponencialmente com o tempo até que toda a plantação seja atingida.
Seja o porcentual de plantas atacadas pelo fungo, no experimento , após t semanas do início. Calcule e determine quantos dias são necessários para que toda a plantação desse experimento seja atingida.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolvê-la. Temos dois experimentos que estudam como um fungo se espalha nas plantas de feijão. No experimento A, começamos com 6% das plantas infectadas e, depois de 4 semanas, esse percentual aumentou para 24%. A ideia é que esse crescimento seja exponencial até atingir 100%. A gente precisa usar essa informação para:
Encontrar a função que descreve o percentual de plantas atacadas pelo fungo no experimento A, chamada , onde é o tempo em semanas.
Calcular , ou seja, o percentual de plantas atacadas após 2 semanas.
Determinar quantos dias são necessários para que toda a plantação seja atingida pelo fungo.
Para isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é crescimento exponencial. Quando algo cresce exponencialmente, significa que a taxa de crescimento é proporcional ao valor atual. A fórmula geral para crescimento exponencial é:
Onde:
é o valor em função do tempo.
é o valor inicial.
é a constante de crescimento.
é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
No nosso caso, queremos que cresça de 6% para 24% em 4 semanas, chegando a 100% eventualmente. Porém, como o crescimento deve parar em 100%, podemos ajustar a fórmula para:
Dessa forma, quando tende ao infinito, se aproxima de 100%.
Passo 3
Vamos usar os dados do experimento A para encontrar a constante . Sabemos que:
Quando , .
Quando semanas, .
Vamos substituir esses valores na fórmula para montar duas equações.
Para :
Ops! Parece que algo está errado. Isso acontece porque quando , a fórmula dá 0%, mas sabemos que inicialmente já tinha 6%. Vamos ajustar a fórmula para considerar o valor inicial.
A fórmula correta, considerando um valor inicial , é:
Onde .
Então, nossa fórmula fica:
Agora, vamos usar semanas para encontrar :
Agora, vamos resolver para tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando:
Passo 4
Agora que encontramos , podemos escrever a função completa:
Vamos usar essa função para calcular , o percentual de plantas atacadas após 2 semanas.
Substituindo :
Arredondando, .
Passo 5
Agora, vamos determinar quantos dias são necessários para que toda a plantação seja atingida pelo fungo, ou seja, quando .
Vamos usar a função:
Subtraindo 100 de ambos os lados:
Para que isso aconteça, deve ser igual a 0. Mas, na realidade, a função exponencial nunca atinge exatamente 0; ela apenas se aproxima. Isso significa que, na prática, nunca será atingido 100% em um tempo finito.
Entretanto, podemos calcular o tempo necessário para chegar muito próximo de 100%, por exemplo, 99,9%.
Vamos resolver para :
Agora, tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Convertendo semanas para dias:
Então, levaria aproximadamente 898 dias para que 99,9% da plantação seja atingida pelo fungo.
Resposta
Após 2 semanas, aproximadamente 15,45% das plantas estarão atacadas pelo fungo. Para que praticamente toda a plantação (99,9%) seja atingida, seriam necessários cerca de 898 dias.