Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo nas folhas de plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos. No experimento A, inicialmente, 6 % das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o porcentual de plantas atacadas aumentou para 24 %. Já no experimento B, a observação iniciou-se com 11 % das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, já eram 85 %.
Considere que o porcentual de plantas atacadas pelo fungo sempre cresce exponencialmente com o tempo até que toda a plantação seja atingida.
Seja f(t) o porcentual de plantas atacadas pelo fungo, no experimento A, após t semanas do início. Calcule f(2) e determine quantos dias são necessários para que toda a plantação desse experimento seja atingida.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolvê-la. Temos dois experimentos que estudam como um fungo se espalha nas plantas de feijão. No experimento A, começamos com 6% das plantas infectadas e, depois de 4 semanas, esse percentual aumentou para 24%. A ideia é que esse crescimento seja exponencial até atingir 100%. A gente precisa usar essa informação para:
  1. Encontrar a função que descreve o percentual de plantas atacadas pelo fungo no experimento A, chamada , onde é o tempo em semanas.
  2. Calcular , ou seja, o percentual de plantas atacadas após 2 semanas.
  3. Determinar quantos dias são necessários para que toda a plantação seja atingida pelo fungo.
Para isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é crescimento exponencial. Quando algo cresce exponencialmente, significa que a taxa de crescimento é proporcional ao valor atual. A fórmula geral para crescimento exponencial é:
f(t) = f0 times e^kt
Onde:
  • f(t) = 100 times (1 - e^-kt) é o valor em função do tempo.
  • é o valor inicial.
  • é a constante de crescimento.
  • é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
No nosso caso, queremos que cresça de 6% para 24% em 4 semanas, chegando a 100% eventualmente. Porém, como o crescimento deve parar em 100%, podemos ajustar a fórmula para:
Dessa forma, quando tende ao infinito, se aproxima de 100%.

Passo 3

Vamos usar os dados do experimento A para encontrar a constante 6 = 100 times (1 - e^-k times 0) 6 = 100 times (1 - 1) 6 = 0 . Sabemos que:
  • Quando f(t) = fmax - (fmax - f0) times e^-kt , f(t) = 100 - (100 - 6) times e^-kt f(t) = 100 - 94 times e^-kt .
  • Quando 24 = 100 - 94 times e^-4k 94 times e^-4k = 100 - 24 94 times e^-4k = 76 e^-4k = 7694 e^-4k = 3847 semanas, -4k = ln(3847) k = -14 times ln(3847) .
Vamos substituir esses valores na fórmula para montar duas equações.
Para ln(3847) approx ln(0,8085) approx -0,2132 k = -14 times (-0,2132) k approx 0,0533 , por semana :
Ops! Parece que algo está errado. Isso acontece porque quando , a fórmula dá 0%, mas sabemos que inicialmente já tinha 6%. Vamos ajustar a fórmula para considerar o valor inicial.
A fórmula correta, considerando um valor inicial , é:
Onde .
Então, nossa fórmula fica:
Agora, vamos usar semanas para encontrar :
Agora, vamos resolver para tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando:

Passo 4

Agora que encontramos f(t) = 100 - 94 times e^-0,0533t , podemos escrever a função completa:
f(2) = 100 - 94 times e^-0,0533 times 2 f(2) = 100 - 94 times e^-0,1066 f(2) = 100 - 94 times 0,8995 f(2) = 100 - 84,546 f(2) approx 15,454%
Vamos usar essa função para calcular , o percentual de plantas atacadas após 2 semanas.
Substituindo :
Arredondando, .

Passo 5

Agora, vamos determinar quantos dias são necessários para que toda a plantação seja atingida pelo fungo, ou seja, quando 100 = 100 - 94 times e^-0,0533t .
Vamos usar a função:
0 = -94 times e^-0,0533t 94 times e^-0,0533t = 0
Subtraindo 100 de ambos os lados:
99,9 = 100 - 94 times e^-0,0533t 94 times e^-0,0533t = 100 - 99,9 94 times e^-0,0533t = 0,1 e^-0,0533t = 0,194 e^-0,0533t approx 0,0010638
Para que isso aconteça, -0,0533t = ln(0,0010638) -0,0533t approx -6,853 t approx 6,8530,0533 t approx 128,3 , semanas deve ser igual a 0. Mas, na realidade, a função exponencial nunca atinge exatamente 0; ela apenas se aproxima. Isso significa que, na prática, nunca será atingido 100% em um tempo finito.
Entretanto, podemos calcular o tempo necessário para chegar muito próximo de 100%, por exemplo, 99,9%.
Vamos resolver para 128,3 , semanas times 7 , dias/semana approx 898 , dias :
Agora, tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Convertendo semanas para dias:
Então, levaria aproximadamente 898 dias para que 99,9% da plantação seja atingida pelo fungo.

Resposta

Após 2 semanas, aproximadamente 15,45% das plantas estarão atacadas pelo fungo. Para que praticamente toda a plantação (99,9%) seja atingida, seriam necessários cerca de 898 dias.

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