Considere a função tal que
Determine se é contínua ou não. Se não for, explique se é possível obter uma função contínua mudando o valor de em apenas um ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir se ela é contínua ou não. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, verificando os limites e o valor da função no ponto crítico, que aqui é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua no ponto se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja, .
Então, precisamos verificar a continuidade da função no ponto .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Para , temos .
Calculando o limite:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Para , temos .
Primeiro, fatoramos o numerador:
Então,
Agora, calculamos o limite:

Passo 5

Como ambos os limites laterais são iguais e valem 6, temos:
Agora, vamos ver o valor da função no ponto :
Para a função ser contínua em , o limite deve ser igual ao valor da função, ou seja, , o que não é verdade.

Passo 6

Portanto, a função não é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos verificar se podemos tornar a função contínua mudando apenas o valor de em . Se ajustarmos para o valor do limite, que é 6, a função ficará contínua porque então:

Resposta

A função não é contínua em , mas podemos torná-la contínua ajustando para 6.

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