Determine se f é contínua ou não. Se não for, explique se é possível obter uma função contínua mudando o valor de f em apenas um ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir se ela é contínua ou não. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, verificando os limites e o valor da função no ponto crítico, que aqui é .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua no ponto se:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja, .
Então, precisamos verificar a continuidade da função no ponto .
Passo 3
Vamos calcular o limite de limx to 1^- (-3x^2 + 3x + 6) = -3(1)^2 + 3(1) + 6 = -3 + 3 + 6 = 6 quando se aproxima de 1 pela esquerda ():
Para , temos .
Calculando o limite:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1) quando f(x) = (x + 5)(x - 1)x - 1 = x + 5 quando x neq 1 se aproxima de 1 pela direita ( limx to 1^+ (x + 5) = 1 + 5 = 6 ):
Para , temos .
Primeiro, fatoramos o numerador:
Então,
Agora, calculamos o limite:
Passo 5
Como ambos os limites laterais são iguais e valem 6, temos:
limx to 1 f(x) = 6
Agora, vamos ver o valor da função no ponto f(1) = 2 :
Para a função ser contínua em , o limite deve ser igual ao valor da função, ou seja, , o que não é verdade.
Passo 6
Portanto, a função não é contínua em .
Passo 7
Agora, vamos verificar se podemos tornar a função contínua mudando apenas o valor de limx to 1 f(x) = f(1) = 6 em . Se ajustarmos para o valor do limite, que é 6, a função ficará contínua porque então:
Resposta
A função não é contínua em , mas podemos torná-la contínua ajustando para 6.