Determine se é contínua ou não. Se não for, explique se é possível obter uma função contínua mudando o valor de em apenas um ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir se ela é contínua ou não. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções, verificando os limites e o valor da função no ponto crítico, que aqui é .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua no ponto se:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite é igual ao valor da função no ponto, ou seja, .
Então, precisamos verificar a continuidade da função no ponto .
Passo 3
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ():
Para , temos .
Calculando o limite:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ():
Para , temos .
Primeiro, fatoramos o numerador:
Então,
Agora, calculamos o limite:
Passo 5
Como ambos os limites laterais são iguais e valem 6, temos:
Agora, vamos ver o valor da função no ponto :
Para a função ser contínua em , o limite deve ser igual ao valor da função, ou seja, , o que não é verdade.
Passo 6
Portanto, a função não é contínua em .
Passo 7
Agora, vamos verificar se podemos tornar a função contínua mudando apenas o valor de em . Se ajustarmos para o valor do limite, que é 6, a função ficará contínua porque então:
Resposta
A função não é contínua em , mas podemos torná-la contínua ajustando para 6.