Calcule os limites
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo do limite quando
vai para mais infinito da expressão
. Isso envolve entender como as funções crescem conforme
fica bem grande e manipular radicais para simplificar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais partes da expressão crescem mais rápido conforme
aumenta. Tanto
quanto
crescem proporcionalmente a
. Isso significa que, no infinito, esses termos dominam o comportamento da expressão.
Passo 3
Agora, vamos fatorar
de cada termo para simplificar:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original, fica assim:
Passo 5
A gente pode usar uma aproximação pra facilitar: quando
é bem pequeno,
. Como
tá indo pro infinito,
e
são bem pequenos. Então:
Passo 6
Substituindo essas aproximações na expressão:
Passo 7
Agora, vamos ver o que acontece quando
vai pro infinito:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo nas folhas de plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos. No experimento A, inicialmente,
das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o porcentual de plantas atacadas aumentou para
. Já no experimento B, a observação iniciou-se com
das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, já eram
.
Considere que o porcentual de plantas atacadas pelo fungo sempre cresce exponencialmente com o tempo até que toda a plantação seja atingida.
Determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente. (Em outras palavras, se ambos experimentos tivessem iniciado sob as mesmas condições, após um mesmo intervalo de tempo, em qual deles a plantação estaria mais atacada pelo fungo?)
Considere que o porcentual de plantas atacadas pelo fungo sempre cresce exponencialmente com o tempo até que toda a plantação seja atingida.
Determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente. (Em outras palavras, se ambos experimentos tivessem iniciado sob as mesmas condições, após um mesmo intervalo de tempo, em qual deles a plantação estaria mais atacada pelo fungo?)
Calcule os limites
Identifique todos os números reais,
, tais que
Identifique todos os números reais,
, tais que