Calcule os limites lim x +infty(2 raizx+1-raiz4 x-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo do limite quando vai para mais infinito da expressão . Isso envolve entender como as funções crescem conforme fica bem grande e manipular radicais para simplificar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da expressão crescem mais rápido conforme aumenta. Tanto quanto crescem proporcionalmente a . Isso significa que, no infinito, esses termos dominam o comportamento da expressão.

Passo 3

Agora, vamos fatorar 2raizx+1 = 2raizx cdot raiz1 + 1x de cada termo para simplificar:
raiz4x-3 = raiz4x cdot raiz1 - 34x = 2raizx cdot raiz1 - 34x

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original, fica assim:
2raizx cdot raiz1 + 1x - 2raizx cdot raiz1 - 34x = 2raizx ( raiz1 + 1x - raiz1 - 34x )

Passo 5

A gente pode usar uma aproximação pra facilitar: quando raiz1 + 1x approx 1 + 12x é bem pequeno, raiz1 - 34x approx 1 - 38x . Como tá indo pro infinito, e são bem pequenos. Então:

Passo 6

Substituindo essas aproximações na expressão:
2raizx ( (1 + 12x) - (1 - 38x) ) = 2raizx ( 12x + 38x ) = 2raizx cdot 78x = 148 cdot 1raizx

Passo 7

Agora, vamos ver o que acontece quando 148 cdot 1raizx to 0 vai pro infinito:

Resposta

O limite é .

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