Calcule os limites

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o cálculo do limite quando vai para mais infinito da expressão . Isso envolve entender como as funções crescem conforme fica bem grande e manipular radicais para simplificar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da expressão crescem mais rápido conforme aumenta. Tanto quanto crescem proporcionalmente a . Isso significa que, no infinito, esses termos dominam o comportamento da expressão.

Passo 3

Agora, vamos fatorar de cada termo para simplificar:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original, fica assim:

Passo 5

A gente pode usar uma aproximação pra facilitar: quando é bem pequeno, . Como tá indo pro infinito, e são bem pequenos. Então:

Passo 6

Substituindo essas aproximações na expressão:

Passo 7

Agora, vamos ver o que acontece quando vai pro infinito:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo nas folhas de plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos. No experimento A, inicialmente, das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o porcentual de plantas atacadas aumentou para . Já no experimento B, a observação iniciou-se com das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, já eram .
Considere que o porcentual de plantas atacadas pelo fungo sempre cresce exponencialmente com o tempo até que toda a plantação seja atingida.
Determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente. (Em outras palavras, se ambos experimentos tivessem iniciado sob as mesmas condições, após um mesmo intervalo de tempo, em qual deles a plantação estaria mais atacada pelo fungo?)
Calcule os limites
Identifique todos os números reais, , tais que
Identifique todos os números reais, , tais que