Calcule os limites
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente avaliando o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar usar algebra básica e a regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
.
Passo 2
Vamos começar substituindo
na expressão para verificar se realmente temos uma forma indeterminada.
No numerador:
Sabemos que
, então:
No denominador:
Como ambos numerador e denominador resultam em 0, temos uma forma indeterminada
, o que nos permite usar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
A regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite que resulta em
ou
, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador.
Vamos calcular as derivadas:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Podemos simplificar essa expressão:
Passo 5
Substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a
.
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Calcule os limites
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, onde
é a temperatura, em graus Celsius, e
é o tempo, em horas, contado a partir da meia noite.
Determine quais serão as temperaturas máxima e minima no escritório e os horários em que elas ocorrem.
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Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo nas folhas de plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos. No experimento A, inicialmente,
das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o porcentual de plantas atacadas aumentou para
. Já no experimento B, a observação iniciou-se com
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.
Considere que o porcentual de plantas atacadas pelo fungo sempre cresce exponencialmente com o tempo até que toda a plantação seja atingida.
Determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente. (Em outras palavras, se ambos experimentos tivessem iniciado sob as mesmas condições, após um mesmo intervalo de tempo, em qual deles a plantação estaria mais atacada pelo fungo?)
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Calcule os limites