Calcule os limites
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente avaliando o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar usar algebra básica e a regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
.
Passo 2
Vamos começar substituindo
na expressão para verificar se realmente temos uma forma indeterminada.
No numerador:
Sabemos que
, então:
No denominador:
Como ambos numerador e denominador resultam em 0, temos uma forma indeterminada
, o que nos permite usar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
A regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite que resulta em
ou
, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador.
Vamos calcular as derivadas:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Podemos simplificar essa expressão:
Passo 5
Substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a
.