Calcule os limites lim x pi / 3 1-2 cos x9 x^2-pi^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite:
limx pi3 1 - 2 cos x9x^2 - pi^2
Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente avaliando o comportamento dessa expressão quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar usar algebra básica e a regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como .

Passo 2

Vamos começar substituindo 1 - 2 cos(pi3) na expressão para verificar se realmente temos uma forma indeterminada.
No numerador:
1 - 2 times 12 = 1 - 1 = 0
Sabemos que 9(pi3)^2 - pi^2 = 9 times pi^29 - pi^2 = pi^2 - pi^2 = 0 , então:
No denominador:
Como ambos numerador e denominador resultam em 0, temos uma forma indeterminada , o que nos permite usar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite que resulta em ddx(1 - 2 cos x) = 0 + 2 sin x = 2 sin x ou ddx(9x^2 - pi^2) = 18x , podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador.
Vamos calcular as derivadas:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
limx pi3 2 sin x18x
Podemos simplificar essa expressão:
limx pi3 2 sin x18x = 218 limx pi3 sin xx = 19 limx pi3 sin xx

Passo 5

Substituímos 19 times sin(pi3)pi3 = 19 times raiz32pi3 = 19 times 3raiz32pi = raiz36pi na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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