Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo nas folhas de plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos. No experimento A, inicialmente, das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o porcentual de plantas atacadas aumentou para . Já no experimento B, a observação iniciou-se com das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, já eram .
Considere que o porcentual de plantas atacadas pelo fungo sempre cresce exponencialmente com o tempo até que toda a plantação seja atingida.
Determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente. (Em outras palavras, se ambos experimentos tivessem iniciado sob as mesmas condições, após um mesmo intervalo de tempo, em qual deles a plantação estaria mais atacada pelo fungo?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois experimentos, A e B, que estudam como um fungo se espalha nas plantas de feijão. Em ambos, a quantidade de plantas atacadas pelo fungo cresce de forma exponencial ao longo do tempo. Para resolvermos isso, vamos precisar entender a fórmula do crescimento exponencial e aplicar aos dados de cada experimento para descobrir qual deles tem o crescimento mais rápido do fungo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do crescimento exponencial:
Onde:
  • é o porcentual de plantas atacadas no tempo .
  • é o porcentual inicial de plantas atacadas.
  • é a taxa de crescimento.
  • é a base dos logaritmos naturais.
Nosso objetivo é encontrar o valor de para cada experimento.

Passo 3

Experimento A:
Dados:
  • Inicialmente ( ):
  • Após 4 semanas ( ):
Vamos substituir na fórmula:
Primeiro, dividimos ambos os lados por 6:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para :
Então,

Passo 4

Experimento B:
Dados:
  • Inicialmente ( ):
  • Após 6 semanas ( ):
Substituindo na fórmula:
Dividimos ambos os lados por 11:
Aplicamos o logaritmo natural:
Então,

Passo 5

Agora que temos as taxas de crescimento e , vamos comparar:
Isso significa que o experimento A tem uma taxa de crescimento ligeiramente maior que o experimento B.

Resposta

O fungo se propaga mais rapidamente no experimento A.

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