Dois experimentos independentes foram realizados para estudar a propagação de um tipo de fungo nas folhas de plantas de feijão. A distribuição das plantas na área plantada é uniforme, com a mesma densidade em ambos os experimentos. No experimento A, inicialmente,
das plantas estavam atacadas pelo fungo e, quatro semanas depois, o porcentual de plantas atacadas aumentou para
. Já no experimento B, a observação iniciou-se com
das plantas atacadas pelo fungo e, seis semanas depois, já eram
.
Considere que o porcentual de plantas atacadas pelo fungo sempre cresce exponencialmente com o tempo até que toda a plantação seja atingida.
Determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente. (Em outras palavras, se ambos experimentos tivessem iniciado sob as mesmas condições, após um mesmo intervalo de tempo, em qual deles a plantação estaria mais atacada pelo fungo?)
Considere que o porcentual de plantas atacadas pelo fungo sempre cresce exponencialmente com o tempo até que toda a plantação seja atingida.
Determine em qual dos dois experimentos a propagação do fungo ocorre mais rapidamente. (Em outras palavras, se ambos experimentos tivessem iniciado sob as mesmas condições, após um mesmo intervalo de tempo, em qual deles a plantação estaria mais atacada pelo fungo?)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois experimentos, A e B, que estudam como um fungo se espalha nas plantas de feijão. Em ambos, a quantidade de plantas atacadas pelo fungo cresce de forma exponencial ao longo do tempo. Para resolvermos isso, vamos precisar entender a fórmula do crescimento exponencial e aplicar aos dados de cada experimento para descobrir qual deles tem o crescimento mais rápido do fungo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do crescimento exponencial:
Onde:
-
é o porcentual de plantas atacadas no tempo . -
é o porcentual inicial de plantas atacadas. -
é a taxa de crescimento. -
é a base dos logaritmos naturais.
Nosso objetivo é encontrar o valor de
para cada experimento.
Passo 3
Experimento A:
Dados:
- Inicialmente (
): - Após 4 semanas (
):
Vamos substituir na fórmula:
Primeiro, dividimos ambos os lados por 6:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para
:
Então,
Passo 4
Experimento B:
Dados:
- Inicialmente (
): - Após 6 semanas (
):
Substituindo na fórmula:
Dividimos ambos os lados por 11:
Aplicamos o logaritmo natural:
Então,
Passo 5
Agora que temos as taxas de crescimento
e
, vamos comparar:
Isso significa que o experimento A tem uma taxa de crescimento ligeiramente maior que o experimento B.
Resposta
O fungo se propaga mais rapidamente no experimento A.
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, tais que