Identifique todos os números reais,
, tais que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os números reais
que satisfazem a desigualdade
. Estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas expressões de valor absoluto se comportam em diferentes intervalos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso acontece quando
e
.
- Para
: - Para
:
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos diferentes que vamos analisar separadamente.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada intervalo:
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
Em cada intervalo, as expressões dentro dos valores absolutos terão sinais específicos, o que nos ajudará a simplificar a desigualdade.
Passo 4
Intervalo 1:
-
é negativo, então -
é negativo, então
Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Mas lembrando que estamos no intervalo
, não há
que satisfaça
nesse intervalo. Então, não há soluções aqui.
Passo 5
Intervalo 2:
-
é positivo ou zero, então -
é negativo, então
Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Agora, combinando com o intervalo
, temos
.
Passo 6
Intervalo 3:
-
é positivo, então -
é positivo ou zero, então
Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Combinando com o intervalo
, temos
.
Resposta
Unindo as soluções dos intervalos 2 e 3, os números reais
que satisfazem a desigualdade são:
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, tais que
Calcule os limites
Considerando-se que
determine
e
em termos de
e
.
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