Identifique todos os números reais, x, tais que |x+1|-2|x-2| >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os números reais que satisfazem a desigualdade . Estamos trabalhando com desigualdades envolvendo valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas expressões de valor absoluto se comportam em diferentes intervalos de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso acontece quando e .
  • Para :
  • Para :
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos diferentes que vamos analisar separadamente.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada intervalo:
  1. Intervalo 1:
  2. Intervalo 2:
  3. Intervalo 3:
Em cada intervalo, as expressões dentro dos valores absolutos terão sinais específicos, o que nos ajudará a simplificar a desigualdade.

Passo 4

Intervalo 1: -x - 1 - 2(-x + 2) >= 0
  • -x - 1 + 2x - 4 >= 0 x - 5 >= 0 x >= 5 é negativo, então
  • é negativo, então
Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Mas lembrando que estamos no intervalo , não há que satisfaça nesse intervalo. Então, não há soluções aqui.

Passo 5

Intervalo 2: x + 1 - 2(-x + 2) >= 0
  • x + 1 + 2x - 4 >= 0 3x - 3 >= 0 3x >= 3 x >= 1 é positivo ou zero, então
  • é negativo, então
Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Agora, combinando com o intervalo , temos .

Passo 6

Intervalo 3: x + 1 - 2(x - 2) >= 0
  • x + 1 - 2x + 4 >= 0 -x + 5 >= 0 -x >= -5 x <= 5 é positivo, então
  • é positivo ou zero, então
Substituindo na desigualdade:
Simplificando:
Combinando com o intervalo , temos .

Resposta

Unindo as soluções dos intervalos 2 e 3, os números reais 1 <= x <= 5 que satisfazem a desigualdade são:

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