A temperatura de um escritório é controlada por um termostato e varia de acordo com a função senoidal y=21+6 sen(pi12(x-1)), onde y é a temperatura, em graus Celsius, e x é o tempo, em horas, contado a partir da meia noite.
Determine quais serão as temperaturas máxima e minima no escritório e os horários em que elas ocorrem.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma função senoidal que descreve como a temperatura varia ao longo do tempo no escritório. A função dada é:
y = 21 + 6 sin(pi12(x - 1))
Aqui, representa a temperatura em graus Celsius e é o tempo em horas, contando a partir da meia-noite. Nosso objetivo é encontrar quais são as temperaturas máxima e mínima no escritório e em que horários elas ocorrem. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções senoidais funcionam, especialmente em relação à amplitude, valor médio e período.

Passo 2

Vamos identificar os componentes da função senoidal. A função geral de uma senoide é:
y = A + B sin(C(x - D))
Onde:
  • y = 21 + 6 sin(pi12(x - 1)) é o valor médio da função.
  • é a amplitude, que determina o quanto a função oscila para cima e para baixo do valor médio.
  • está relacionado ao período da função, que é o tempo que leva para completar um ciclo completo.
  • é o deslocamento horizontal, ou seja, quantas unidades a função está deslocada para a direita ou para a esquerda.
Comparando com a função dada:
Temos:

Passo 3

Vamos encontrar a temperatura máxima e mínima. Em uma função senoidal, a máxima temperatura ocorre quando o seno é igual a 1, e a mínima quando o seno é igual a -1.
  • Temperatura máxima:
ymax = A + B
ymax = 21 + 6 = 27 °C
  • Temperatura mínima:
ymin = A - B
ymin = 21 - 6 = 15 °C

Passo 4

Agora, precisamos determinar em que horários essas temperaturas máximas e mínimas ocorrem. Para isso, vamos resolver a equação para pi12(x - 1) = pi2 + 2kpi onde k in Z igual a 1 e -1.
  • Quando x - 1 = 6 + 24k :
x = 7 + 24k
Resolvendo para x = 7 horas :
pi12(x - 1) = -pi2 + 2kpi onde k in Z
x - 1 = -6 + 24k
Considerando x = -5 + 24k (o primeiro ciclo após a meia-noite):
x = 19 horas
  • Quando :
Resolvendo para :
Como o tempo não pode ser negativo, escolhemos :

Resposta

A temperatura máxima no escritório é de 27°C e ocorre às 7 horas. A temperatura mínima é de 15°C e ocorre às 19 horas.

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