A temperatura de um escritório é controlada por um termostato e varia de acordo com a função senoidal
, onde
é a temperatura, em graus Celsius, e
é o tempo, em horas, contado a partir da meia noite.
Determine quais serão as temperaturas máxima e minima no escritório e os horários em que elas ocorrem.
Determine quais serão as temperaturas máxima e minima no escritório e os horários em que elas ocorrem.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma função senoidal que descreve como a temperatura varia ao longo do tempo no escritório. A função dada é:
Aqui,
representa a temperatura em graus Celsius e
é o tempo em horas, contando a partir da meia-noite. Nosso objetivo é encontrar quais são as temperaturas máxima e mínima no escritório e em que horários elas ocorrem. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções senoidais funcionam, especialmente em relação à amplitude, valor médio e período.
Passo 2
Vamos identificar os componentes da função senoidal. A função geral de uma senoide é:
Onde:
-
é o valor médio da função. -
é a amplitude, que determina o quanto a função oscila para cima e para baixo do valor médio. -
está relacionado ao período da função, que é o tempo que leva para completar um ciclo completo. -
é o deslocamento horizontal, ou seja, quantas unidades a função está deslocada para a direita ou para a esquerda.
Comparando com a função dada:
Temos:
Passo 3
Vamos encontrar a temperatura máxima e mínima. Em uma função senoidal, a máxima temperatura ocorre quando o seno é igual a 1, e a mínima quando o seno é igual a -1.
- Temperatura máxima:
- Temperatura mínima:
Passo 4
Agora, precisamos determinar em que horários essas temperaturas máximas e mínimas ocorrem. Para isso, vamos resolver a equação para
igual a 1 e -1.
- Quando
:
Resolvendo para
:
Considerando
(o primeiro ciclo após a meia-noite):
- Quando
:
Resolvendo para
:
Como o tempo não pode ser negativo, escolhemos
:
Resposta
A temperatura máxima no escritório é de 27°C e ocorre às 7 horas. A temperatura mínima é de 15°C e ocorre às 19 horas.