Calcule os limites lim x -1^+ 1-raiz-xraizx+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite que precisa ser calculado:
lim x -1^+ 1-raiz-xraizx+1
Esse exercício envolve limites e funções radicais. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam, especialmente quando a variável se aproxima de um valor específico, e também lidar com as raízes quadradas que aparecem na expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da fração quando se aproxima de pela direita ( ).
  • Numerador:
    Quando se aproxima de , se aproxima de , então se aproxima de . Portanto, o numerador se aproxima de .
  • Denominador:
    Quando se aproxima de , se aproxima de . Como estamos chegando de valores maiores que , será um número pequeno positivo, então também se aproxima de .
Assim, temos uma situação do tipo , que é indeterminada e nos permite utilizar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que, se temos um limite da forma limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) ou f'(x) = 0 - 12raiz-x cdot (-1) = 12raiz-x , podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador, ou seja:
g'(x) = 12raizx + 1
Vamos aplicar isso ao nosso caso. Primeiro, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
  • Derivada do Numerador:
    A derivada de é , e a derivada de é:
  • Derivada do Denominador:
    A derivada é:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
lim x -1^+ 1-raiz-xraizx+1 = lim x -1^+ f'(x)g'(x) = lim x -1^+ 12raiz-x12raizx+1
Vamos simplificar essa fração:
12raiz-x12raizx+1 = 12raiz-x times 2raizx+11 = raizx+1raiz-x

Passo 5

Agora, avaliamos o limite da nova expressão:
lim x -1^+ raizx+1raiz-x
Quando 01 = 0 se aproxima de :
  • se aproxima de , então se aproxima de .
  • se aproxima de , então se aproxima de .
Portanto, a expressão inteira se aproxima de:

Resposta

O limite é igual a 0.

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