Calcule os limites
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite que precisa ser calculado:
Esse exercício envolve limites e funções radicais. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam, especialmente quando a variável se aproxima de um valor específico, e também lidar com as raízes quadradas que aparecem na expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da fração quando
se aproxima de
pela direita (
).
-
Numerador:Quando
se aproxima de , se aproxima de , então se aproxima de . Portanto, o numerador se aproxima de . -
Denominador:Quando
se aproxima de , se aproxima de . Como estamos chegando de valores maiores que , será um número pequeno positivo, então também se aproxima de .
Assim, temos uma situação do tipo
, que é indeterminada e nos permite utilizar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que, se temos um limite da forma
ou
, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador, ou seja:
Vamos aplicar isso ao nosso caso. Primeiro, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
-
Derivada do Numerador:A derivada de
é , e a derivada de é: -
Derivada do Denominador:A derivada é:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
Vamos simplificar essa fração:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite da nova expressão:
Quando
se aproxima de
:
-
se aproxima de , então se aproxima de . -
se aproxima de , então se aproxima de .
Portanto, a expressão inteira se aproxima de:
Resposta
O limite é igual a 0.