Calcule os limites lim x 3 sen(2 x-6)x^2-9

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x 3 sin(2x - 6)x^2 - 9. Para isso, vamos usar conceitos de limites, funções trigonométricas e álgebra. Precisamos entender como simplificar a expressão para eliminar a forma indeterminada que aparece quando substituímos x = 3.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x por 3 na expressão para ver o que acontece:
sin(2 cdot 3 - 6)3^2 - 9 = sin(0)0 = 00
A obtenção de 00 indica uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador x^2 - 9. Isso é possível porque x^2 - 9 é uma diferença de quadrados:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Agora, a expressão do limite fica:
lim x 3 sin(2x - 6)(x - 3)(x + 3)

Passo 4

Observe que o argumento do seno pode ser reescrito como:
2x - 6 = 2(x - 3)
Portanto, podemos reescrever o numerador:
sin(2x - 6) = sin[2(x - 3)]
Substituindo na expressão do limite:
lim x 3 sin[2(x - 3)](x - 3)(x + 3)

Passo 5

Vamos separar a fração para facilitar o cálculo:
sin[2(x - 3)]2(x - 3) cdot 2x + 3
Sabemos que:
limh to 0 sin(h)h = 1
Aplicando isso, temos:
lim x 3 sin[2(x - 3)]2(x - 3) = 1
E também:
lim x 3 2x + 3 = 26 = 13

Resposta

O limite é 13.

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