Calcule limlimitsx to 0 dfracmboxsen 5x2x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Limites, mais especificamente com limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de uma regra importante que relaciona o seno de um ângulo com o próprio ângulo quando ele se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a regra conhecida. Sabemos que . No nosso caso, temos no numerador, então vamos manipular a expressão para encaixar nessa forma.

Passo 3

Vamos separar o coeficiente 5 que está dentro do seno e reorganizar a expressão:
Agora, a parte se assemelha à forma que conhecemos: , onde dfracsen 5x2x = dfrac5 cdot sen 5x10x = dfrac52 cdot dfracsen 5x5x .

Passo 4

Aplicando a regra do limite conhecido, temos que:
Portanto, substituindo de volta na expressão:

Resposta

O limite é igual a limlimitsx to 0 dfracsen 5x2x.

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