Se f(x) = x^3 - 3x + 2, encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x = -2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto onde . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é o ponto no gráfico quando f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 . Isso significa calcular f(-2) = -8 + 6 + 2 .
f(-2) = 0
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada da função f'(x) = 3x^2 - 3 , que nos dá a inclinação em qualquer ponto f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 .
A derivada de f'(-2) = 3(4) - 3 é:
f'(-2) = 12 - 3
Agora, substituímos f'(-2) = 9 na derivada para encontrar a inclinação no ponto de tangência:
Então, a inclinação da reta tangente é 9.

Passo 4

Com o ponto y - y1 = m(x - x1) e a inclinação 9, podemos usar a fórmula da equação da reta tangente, que é baseada na forma ponto-inclinação:
y - 0 = 9(x - (-2))
Substituindo os valores:
y = 9(x + 2)
y = 9x + 18

Resposta

A equação da reta tangente é .

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