Encontre os pontos críticos da função f(x) = x^4 - 2x^2 + 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função . Isso envolve usar derivadas, que fazem parte do cálculo. Pra achar os pontos críticos, vamos precisar calcular a derivada da função e descobrir onde ela é igual a zero ou não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está “subindo” ou “descendo” em cada ponto.
A regra que vamos usar é a regra do poder, que diz que a derivada de f'(x) = 4x^3 - 4x é .
Aplicando isso na nossa função:
A derivada de cada termo fica:

Passo 3

Agora que temos a derivada 4x^3 - 4x = 0 , precisamos encontrar onde ela é igual a zero, porque esses são os pontos críticos.
Então, vamos resolver a equação:
4x(x^2 - 1) = 0
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. ou
Então, os valores de que tornam a derivada zero são , e .

Passo 4

Agora que temos os valores de f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 , vamos encontrar os pontos críticos completos substituindo esses valores na função original f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1 .
  1. Para f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 :
Então, o ponto crítico é .
  1. Para :
Então, o ponto crítico é .
  1. Para :
Então, o ponto crítico é .

Resposta

Os pontos críticos da função são , e .

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