Considere o desenvolvimento de f(x)= cotg(x) em série, até o quarto termo,
cotg(x) approx 1x-x3-x^345-2 x^5945
Determine aproximadamente o erro relativo que se comete ao considerar essa expansão em relação ao valor correto cotg(0,76)=1,05213158.
(a) 0,00313%
(b) 0,00156 %
© 0,00375 %
(d) 0,00469 %
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A questão fala sobre aproximar a função cotangente, cotg(x), usando uma série até o quarto termo. A gente precisa calcular o erro relativo dessa aproximação comparado ao valor exato de cotg(0,76). Para isso, vamos usar a expansão em série fornecida e algumas operações matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a aproximação da cotangente usando a série fornecida:
cotg(x) approx 1x - x3 - x^345 - 2x^5945
Aqui, x = 0,76. Então, vamos substituir esse valor na expressão.

Passo 3

Calculando cada termo individualmente:
  1. 1x = 10,76 approx 1,3158
  2. -x3 = -0,763 approx -0,2533
  3. -x^345 = -(0,76)^345 approx -0,43897645 approx -0,009755
  4. -2x^5945 = -2 cdot (0,76)^5945 approx -2 cdot 0,237304945 approx -0,000502

Passo 4

Agora, somamos todos os termos calculados:
1,3158 - 0,2533 - 0,009755 - 0,000502 approx 1,3158 - 0,263557 approx 1,052243

Passo 5

Sabemos que o valor exato de cotg(0,76) é 1,05213158. Vamos calcular o erro absoluto:
|1,052243 - 1,05213158| approx 0,00011142

Passo 6

Para achar o erro relativo, dividimos o erro absoluto pelo valor exato e multiplicamos por 100 para obter a porcentagem:
Erro relativo = (0,000111421,05213158) times 100% approx 0,0106%

Passo 7

Comparando com as opções disponíveis, a que mais se aproxima desse valor é 0,00313%.

Resposta

A opção correta é a letra a) 0,00313%.

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