Calcule o polinômio interpola os pontos da tabela abaixo e determine
tal que
. Trabalhe com 3 casas decimais.
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1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
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1958 | 1962 | 1970 |
(a) 2,37
(b) 2,08
© 2,62
(d) 2,50
(e) Não sei
(b) 2,08
© 2,62
(d) 2,50
(e) Não sei
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com três pontos
:
O objetivo é encontrar um polinômio que passa por esses pontos e, com esse polinômio, determinar o valor de
tal que
. Para isso, vamos usar a interpolação polinomial, especificamente o polinômio de Lagrange.
Passo 2
Vamos construir o polinômio de interpolação de Lagrange de grau 2, já que temos três pontos. A fórmula do polinômio de Lagrange é:
Substituindo os valores da tabela:
Passo 3
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar o polinômio:
Simplificando:
Expandindo todos os termos:
Somando os coeficientes semelhantes:
Calculando cada parte:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Portanto, o polinômio simplificado é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar
tal que
. Então, temos:
Subtraindo 1965,5 de ambos os lados:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como estamos trabalhando com
positivos e dentro do intervalo da tabela, a solução válida é
.
Resposta
A opção correta é (d) 2,50.