Calcule o polinômio interpola os pontos da tabela abaixo e determine tal que . Trabalhe com 3 casas decimais.
1 2 3
1958 1962 1970
(a) 2,37
(b) 2,08
© 2,62
(d) 2,50
(e) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com três pontos :
O objetivo é encontrar um polinômio que passa por esses pontos e, com esse polinômio, determinar o valor de tal que . Para isso, vamos usar a interpolação polinomial, especificamente o polinômio de Lagrange.

Passo 2

Vamos construir o polinômio de interpolação de Lagrange de grau 2, já que temos três pontos. A fórmula do polinômio de Lagrange é:
Substituindo os valores da tabela:

Passo 3

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar o polinômio:
Simplificando:
Expandindo todos os termos:
Somando os coeficientes semelhantes:
Calculando cada parte:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Portanto, o polinômio simplificado é:

Passo 5

Agora, queremos encontrar tal que . Então, temos:
Subtraindo 1965,5 de ambos os lados:

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como estamos trabalhando com positivos e dentro do intervalo da tabela, a solução válida é .

Resposta

A opção correta é (d) 2,50.

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(a)
(b)
©
(d)
(e) Não sei
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(a) 0,714697
(b) 0,714916
(d) 0,714836
(e) Não sei
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1 2 3 4 5 6
9 11 10 13 13 14
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(a)
(b)
©
(d)
(e) Não sei
Resposta: