Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com três pontos :
O objetivo é encontrar um polinômio que passa por esses pontos e, com esse polinômio, determinar o valor de tal que . Para isso, vamos usar a interpolação polinomial, especificamente o polinômio de Lagrange.
Passo 2
Vamos construir o polinômio de interpolação de Lagrange de grau 2, já que temos três pontos. A fórmula do polinômio de Lagrange é:
Substituindo os valores da tabela:
Passo 3
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar o polinômio:
Simplificando:
Expandindo todos os termos:
Somando os coeficientes semelhantes:
Calculando cada parte:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Portanto, o polinômio simplificado é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar tal que . Então, temos:
Subtraindo 1965,5 de ambos os lados:
Passo 6
Vamos resolver a equação quadrática:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como estamos trabalhando com positivos e dentro do intervalo da tabela, a solução válida é .