Calcule o polinômio interpola os pontos da tabela abaixo e determine x^* tal que f(x^*)=1965,5. Trabalhe com 3 casas decimais.
x 1 2 3
y 1958 1962 1970
(a) 2,37
(b) 2,08
© 2,62
(d) 2,50
(e) Não sei

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com três pontos (x, y):
|c|c|c|c| hline x & 1 & 2 & 3 hline y & 1958 & 1962 & 1970 hline
O objetivo é encontrar um polinômio que passa por esses pontos e, com esse polinômio, determinar o valor de x^* tal que f(x^*) = 1965,5. Para isso, vamos usar a interpolação polinomial, especificamente o polinômio de Lagrange.

Passo 2

Vamos construir o polinômio de interpolação de Lagrange de grau 2, já que temos três pontos. A fórmula do polinômio de Lagrange é:
P(x) = y1 cdot (x - x2)(x - x3)(x1 - x2)(x1 - x3) + y2 cdot (x - x1)(x - x3)(x2 - x1)(x2 - x3) + y3 cdot (x - x1)(x - x2)(x3 - x1)(x3 - x2)
Substituindo os valores da tabela:
P(x) = 1958 cdot (x - 2)(x - 3)(1 - 2)(1 - 3) + 1962 cdot (x - 1)(x - 3)(2 - 1)(2 - 3) + 1970 cdot (x - 1)(x - 2)(3 - 1)(3 - 2)

Passo 3

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
1958 cdot (x - 2)(x - 3)(-1)(-2) = 1958 cdot (x - 2)(x - 3)2
  1. Segundo termo:
1962 cdot (x - 1)(x - 3)1 cdot (-1) = -1962 cdot (x - 1)(x - 3)
  1. Terceiro termo:
1970 cdot (x - 1)(x - 2)2 cdot 1 = 1970 cdot (x - 1)(x - 2)2

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar o polinômio:
P(x) = 19582(x^2 - 5x + 6) - 1962(x^2 - 4x + 3) + 19702(x^2 - 3x + 2)
Simplificando:
P(x) = 979(x^2 - 5x + 6) - 1962(x^2 - 4x + 3) + 985(x^2 - 3x + 2)
Expandindo todos os termos:
P(x) = 979x^2 - 4895x + 5874 - 1962x^2 + 7848x - 5886 + 985x^2 - 2955x + 1970
Somando os coeficientes semelhantes:
P(x) = (979 - 1962 + 985)x^2 + (-4895 + 7848 - 2955)x + (5874 - 5886 + 1970)
Calculando cada parte:
  • Coeficiente de x^2:
979 - 1962 + 985 = 2
  • Coeficiente de x:
-4895 + 7848 - 2955 = -2
  • Termo constante:
5874 - 5886 + 1970 = 1958
Portanto, o polinômio simplificado é:
P(x) = 2x^2 - 2x + 1958

Passo 5

Agora, queremos encontrar x^* tal que P(x^*) = 1965,5. Então, temos:
2x^*2 - 2x^* + 1958 = 1965,5
Subtraindo 1965,5 de ambos os lados:
2x^*2 - 2x^* - 7,5 = 0

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática:
2x^2 - 2x - 7,5 = 0
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
x^2 - x - 3,75 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = 1 pm raiz1 + 152 = 1 pm raiz162 = 1 pm 42
As soluções são:
x = 52 = 2,5 ou x = -32 = -1,5
Como estamos trabalhando com x positivos e dentro do intervalo da tabela, a solução válida é x = 2,5.

Resposta

A opção correta é (d) 2,50.

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