integral0^pi / 4[1+sen(2 x)] d x Resposta: pi4+12

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, onde aprendemos a calcular áreas sob curvas usando integrais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de integração básicas e conhecer a integral da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^pi / 4 1 , dx + integral0^pi / 4 sin(2x) , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral integral 1 , dx = x . A integral de 1 em relação a é simplesmente :

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral integral sin(2x) , dx = -cos(2x)2 . A integral de em relação a é . Aqui, :

Passo 5

Agora, vamos somar as duas integrais e aplicar os limites de integração de [ x - cos(2x)2 ]0^pi / 4 a :

Passo 6

Vamos substituir os limites na expressão:
Para pi4 - cos(2 cdot pi4)2 = pi4 - cos(pi2)2 = pi4 - 02 = pi4 :
0 - cos(0)2 = 0 - 12 = -12
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores:
pi4 - (-12) = pi4 + 12

Resposta

pi4 + 12

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