Calcule o polinômio interpolador de grau menor ou igual a 4 que interpola a função
nos pontos
(use diferenças divididas). Utilize-o para estimar
e estime o erro cometido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio interpolador de grau menor ou igual a 4 para a função
nos pontos
onde
. Para isso, vamos usar o método das diferenças divididas. Depois, vamos usar esse polinômio para estimar
e calcular o erro dessa estimativa. Vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial e diferenças divididas para seguir adiante.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos dados. Temos
,
,
,
e
. Para cada um desses
, calculamos
. Assim:
Passo 3
Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. As diferenças divididas são usadas para encontrar os coeficientes do polinômio interpolador de Newton. A ideia é calcular essas diferenças de forma organizada, começando pelas primeiras diferenças e indo sucessivamente.
Começamos com as colunas
e
:
Passo 4
Em seguida, calculamos as primeiras diferenças divididas (
) usando a fórmula:
Vamos calcular:
Passo 5
Agora, calculamos as segundas diferenças divididas (
) usando:
Aplicando isso:
Passo 6
Continuamos com as terceiras diferenças divididas (
):
Calculando:
Passo 7
Finalmente, calculamos a quarta diferença dividida (
):
Passo 8
Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio interpolador de Newton:
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora, vamos simplificar o polinômio
:
Podemos expandir cada termo para obter uma expressão mais simples, mas para facilitar o cálculo, vamos deixar assim e usar diretamente para estimar
.
Passo 10
Vamos estimar
usando o polinômio
construído:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:
Passo 11
Para estimar o erro cometido na aproximação, usamos a fórmula do erro para interpolação polinomial:
onde
,
, e
está entre os pontos de interpolação.
Como
é sempre positiva e crescente, podemos estimar
.
Calculando o produto:
Então, o erro máximo é:
Resposta
Usando o polinômio interpolador, estimamos que
. O erro cometido nessa estimativa é, no máximo, aproximadamente 2.228.