Calcule o polinômio interpolador de grau menor ou igual a 4 que interpola a função nos pontos (use diferenças divididas). Utilize-o para estimar e estime o erro cometido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio interpolador de grau menor ou igual a 4 para a função nos pontos onde . Para isso, vamos usar o método das diferenças divididas. Depois, vamos usar esse polinômio para estimar e calcular o erro dessa estimativa. Vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial e diferenças divididas para seguir adiante.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos dados. Temos , , , e . Para cada um desses , calculamos . Assim:

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. As diferenças divididas são usadas para encontrar os coeficientes do polinômio interpolador de Newton. A ideia é calcular essas diferenças de forma organizada, começando pelas primeiras diferenças e indo sucessivamente.
Começamos com as colunas e :

Passo 4

Em seguida, calculamos as primeiras diferenças divididas ( ) usando a fórmula:
Vamos calcular:

Passo 5

Agora, calculamos as segundas diferenças divididas ( ) usando:
Aplicando isso:

Passo 6

Continuamos com as terceiras diferenças divididas ( ):
Calculando:

Passo 7

Finalmente, calculamos a quarta diferença dividida ( ):

Passo 8

Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio interpolador de Newton:
Substituindo os valores:

Passo 9

Agora, vamos simplificar o polinômio :
Podemos expandir cada termo para obter uma expressão mais simples, mas para facilitar o cálculo, vamos deixar assim e usar diretamente para estimar .

Passo 10

Vamos estimar usando o polinômio construído:
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:

Passo 11

Para estimar o erro cometido na aproximação, usamos a fórmula do erro para interpolação polinomial:
onde , , e está entre os pontos de interpolação.
Como é sempre positiva e crescente, podemos estimar .
Calculando o produto:
Então, o erro máximo é:

Resposta

Usando o polinômio interpolador, estimamos que . O erro cometido nessa estimativa é, no máximo, aproximadamente 2.228.

Exercícios relacionados

A função
é dada pela seguinte tabela:
0
0.01 4.0379
0.02 3.3547
0.03 2.9591
0.04 2.6813
0.05 2.4679
0.06 2.2953
Através da fórmula de Newton, calcule para usando parábola e parábola cúbica.
Dada a tabela:
0.0 1.0000
0.1 1.3499
0.2 1.8221
0.3 2.4596
0.4 3.3201
0.5 4.4817
Calcule , onde usando polinômio de interpolação do grau.
Utilize a diferença dividida , com , para escrever
A função
é crescente e troca de sinal em . Para aproximar a raiz de , podemos utilizar a interpolação inversa, isto é, consideramos os e , com e e aproximamos pelo valor do polinômio , no ponto , que interpola nos pontos . Estime pelo método descrito.