Calcule o polinômio interpolador de grau menor ou igual a 4 que interpola a função e^x nos pontos xi=i, i=0,1, ldots, 4 (use diferenças divididas). Utilize-o para estimar e^0.45 e estime o erro cometido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio interpolador de grau menor ou igual a 4 para a função nos pontos onde . Para isso, vamos usar o método das diferenças divididas. Depois, vamos usar esse polinômio para estimar e calcular o erro dessa estimativa. Vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial e diferenças divididas para seguir adiante.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos dados. Temos y0 &= e^0 = 1, y1 &= e^1 approx 2.7183, y2 &= e^2 approx 7.3891, y3 &= e^3 approx 20.0855, y4 &= e^4 approx 54.5982 , , , e . Para cada um desses , calculamos . Assim:

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. As diferenças divididas são usadas para encontrar os coeficientes do polinômio interpolador de Newton. A ideia é calcular essas diferenças de forma organizada, começando pelas primeiras diferenças e indo sucessivamente.
Começamos com as colunas c|c x & y hline 0 & 1 1 & 2.7183 2 & 7.3891 3 & 20.0855 4 & 54.5982 e :

Passo 4

Em seguida, calculamos as primeiras diferenças divididas ( f[xi, xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi ) usando a fórmula:
f[x0, x1] &= 2.7183 - 11 - 0 = 1.7183, f[x1, x2] &= 7.3891 - 2.71832 - 1 = 4.6708, f[x2, x3] &= 20.0855 - 7.38913 - 2 = 12.6964, f[x3, x4] &= 54.5982 - 20.08554 - 3 = 34.5127
Vamos calcular:

Passo 5

Agora, calculamos as segundas diferenças divididas ( f[xi, xi+1, xi+2] = f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]xi+2 - xi ) usando:
f[x0, x1, x2] &= 4.6708 - 1.71832 - 0 = 2.95252 = 1.4763, f[x1, x2, x3] &= 12.6964 - 4.67083 - 1 = 8.02562 = 4.0128, f[x2, x3, x4] &= 34.5127 - 12.69644 - 2 = 21.81632 = 10.9082
Aplicando isso:

Passo 6

Continuamos com as terceiras diferenças divididas ( f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] = f[xi+1, xi+2, xi+3] - f[xi, xi+1, xi+2]xi+3 - xi ):
f[x0, x1, x2, x3] &= 4.0128 - 1.47633 - 0 = 2.53653 approx 0.8455, f[x1, x2, x3, x4] &= 10.9082 - 4.01284 - 1 = 6.89543 approx 2.2985
Calculando:

Passo 7

Finalmente, calculamos a quarta diferença dividida ( f[x0, x1, x2, x3, x4] = 2.2985 - 0.84554 - 0 = 1.4534 = 0.3633 ):

Passo 8

Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio interpolador de Newton:
P4(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2) + f[x0, x1, x2, x3, x4](x - x0)(x - x1)(x - x2)(x - x3)
Substituindo os valores:
P4(x) &= 1 &+ 1.7183(x - 0) &+ 1.4763(x)(x - 1) &+ 0.8455(x)(x - 1)(x - 2) &+ 0.3633(x)(x - 1)(x - 2)(x - 3)

Passo 9

Agora, vamos simplificar o polinômio P4(x) = 1 + 1.7183x + 1.4763x(x - 1) + 0.8455x(x - 1)(x - 2) + 0.3633x(x - 1)(x - 2)(x - 3) :
Podemos expandir cada termo para obter uma expressão mais simples, mas para facilitar o cálculo, vamos deixar assim e usar diretamente para estimar .

Passo 10

Vamos estimar P4(0.45) = 1 + 1.7183(0.45) + 1.4763(0.45)(0.45 - 1) + 0.8455(0.45)(0.45 - 1)(0.45 - 2) + 0.3633(0.45)(0.45 - 1)(0.45 - 2)(0.45 - 3) usando o polinômio 1 &= 1, 1.7183 times 0.45 &= 0.7732, 1.4763 times 0.45 times (-0.55) &= -0.3641, 0.8455 times 0.45 times (-0.55) times (-1.55) &= 0.2164, 0.3633 times 0.45 times (-0.55) times (-1.55) times (-2.55) &approx -0.0920 construído:
1 + 0.7732 - 0.3641 + 0.2164 - 0.0920 approx 1.5335
Calculando cada termo:
Somando todos os termos:

Passo 11

Para estimar o erro cometido na aproximação, usamos a fórmula do erro para interpolação polinomial:
E(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)! prodi=0^n(x - xi),
onde prodi=0^4(0.45 - i) = (0.45)(0.45 - 1)(0.45 - 2)(0.45 - 3)(0.45 - 4) = 0.45 times (-0.55) times (-1.55) times (-2.55) times (-3.55) approx -4.8984 , |E(0.45)| <= 54.59825! times | -4.8984 | = 54.5982120 times 4.8984 approx 2.228 , e está entre os pontos de interpolação.
Como é sempre positiva e crescente, podemos estimar .
Calculando o produto:
Então, o erro máximo é:

Resposta

Usando o polinômio interpolador, estimamos que . O erro cometido nessa estimativa é, no máximo, aproximadamente 2.228.

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