Utilize a diferença dividida , com , para escrever

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é usar a diferença dividida para escrever a função numa forma polinomial. Isso faz parte do estudo de interpolação polinomial, onde a gente tenta construir um polinômio que passe por certos pontos conhecidos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as diferenças divididas e como elas são usadas para montar esse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a diferença dividida de ordem zero. É bem simples: é apenas o valor da função no ponto . Ou seja,
Esse é o nosso ponto de partida.

Passo 3

Agora, vamos para a diferença dividida de primeira ordem, que é . Essa diferença mede a inclinação entre os pontos e . A fórmula é:
Isso nos dá a taxa de variação média entre esses dois pontos.

Passo 4

Seguimos para a diferença dividida de segunda ordem, que é . Essa diferença considera um terceiro ponto que é diferente de e . A fórmula é um pouco mais complicada:
Aqui, estamos basicamente calculando a diferença das inclinações que já encontramos, dividindo pela distância no eixo .

Passo 5

Com todas essas diferenças divididas calculadas, a gente pode montar o polinômio que aproxima . A ideia é somar os termos que multiplicam as diferenças divididas por fatores que dependem de e . Ficaria assim:
Essa é a expressão final que representa usando as diferenças divididas que calculamos.

Resposta

Então, a função pode ser escrita como:

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Calcule o polinômio interpolador de grau menor ou igual a 4 que interpola a função nos pontos (use diferenças divididas). Utilize-o para estimar e estime o erro cometido.
A função
é dada pela seguinte tabela:
0
0.01 4.0379
0.02 3.3547
0.03 2.9591
0.04 2.6813
0.05 2.4679
0.06 2.2953
Através da fórmula de Newton, calcule para usando parábola e parábola cúbica.
A função
é crescente e troca de sinal em . Para aproximar a raiz de , podemos utilizar a interpolação inversa, isto é, consideramos os e , com e e aproximamos pelo valor do polinômio , no ponto , que interpola nos pontos . Estime pelo método descrito.
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
(b) nos pontos 2,4 e 8 (quadrático);