Utilize a diferença dividida f[y0, y1, y], com x neq x0, x1, para escrever
f(x)=f[y0]+(x-x0) f[y0, y1]+(x-x0)(x-x1) f[y0, y1, y]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é usar a diferença dividida para escrever a função numa forma polinomial. Isso faz parte do estudo de interpolação polinomial, onde a gente tenta construir um polinômio que passe por certos pontos conhecidos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as diferenças divididas e como elas são usadas para montar esse polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a diferença dividida de ordem zero. É bem simples: f[y0] = f(x0) é apenas o valor da função no ponto . Ou seja,
Esse é o nosso ponto de partida.

Passo 3

Agora, vamos para a diferença dividida de primeira ordem, que é f[y0, y1] = f(x1) - f(x0)x1 - x0 . Essa diferença mede a inclinação entre os pontos e . A fórmula é:
Isso nos dá a taxa de variação média entre esses dois pontos.

Passo 4

Seguimos para a diferença dividida de segunda ordem, que é f[y0, y1, y] = f[y1, y] - f[y0, y1]y - x0 . Essa diferença considera um terceiro ponto que é diferente de e . A fórmula é um pouco mais complicada:
Aqui, estamos basicamente calculando a diferença das inclinações que já encontramos, dividindo pela distância no eixo .

Passo 5

Com todas essas diferenças divididas calculadas, a gente pode montar o polinômio que aproxima f(x) = f[y0] + (x - x0) f[y0, y1] + (x - x0)(x - x1) f[y0, y1, y] . A ideia é somar os termos que multiplicam as diferenças divididas por fatores que dependem de e . Ficaria assim:
Essa é a expressão final que representa usando as diferenças divididas que calculamos.

Resposta

Então, a função f(x) = f[y0] + (x - x0) f[y0, y1] + (x - x0)(x - x1) f[y0, y1, y] pode ser escrita como:

Exercícios relacionados