Utilize a diferença dividida
, com
, para escrever
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é usar a diferença dividida
para escrever a função
numa forma polinomial. Isso faz parte do estudo de interpolação polinomial, onde a gente tenta construir um polinômio que passe por certos pontos conhecidos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as diferenças divididas e como elas são usadas para montar esse polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a diferença dividida de ordem zero. É bem simples:
é apenas o valor da função no ponto
. Ou seja,
Esse é o nosso ponto de partida.
Passo 3
Agora, vamos para a diferença dividida de primeira ordem, que é
. Essa diferença mede a inclinação entre os pontos
e
. A fórmula é:
Isso nos dá a taxa de variação média entre esses dois pontos.
Passo 4
Seguimos para a diferença dividida de segunda ordem, que é
. Essa diferença considera um terceiro ponto
que é diferente de
e
. A fórmula é um pouco mais complicada:
Aqui, estamos basicamente calculando a diferença das inclinações que já encontramos, dividindo pela distância no eixo
.
Passo 5
Com todas essas diferenças divididas calculadas, a gente pode montar o polinômio que aproxima
. A ideia é somar os termos que multiplicam as diferenças divididas por fatores que dependem de
e
. Ficaria assim:
Essa é a expressão final que representa
usando as diferenças divididas que calculamos.
Resposta
Então, a função
pode ser escrita como:
Exercícios relacionados
Calcule o polinômio interpolador de grau menor ou igual a 4 que interpola a função
nos pontos
(use diferenças divididas). Utilize-o para estimar
e estime o erro cometido.
A função
é dada pela seguinte tabela:
|
|
---|---|
0 |
|
0.01 | 4.0379 |
0.02 | 3.3547 |
0.03 | 2.9591 |
0.04 | 2.6813 |
0.05 | 2.4679 |
0.06 | 2.2953 |
Através da fórmula de Newton, calcule
para
usando parábola e parábola cúbica.
A função
é crescente e troca de sinal em
. Para aproximar a raiz
de
, podemos utilizar a interpolação inversa, isto é, consideramos os
e
, com
e
e aproximamos
pelo valor do polinômio
, no ponto
, que interpola
nos pontos
. Estime
pelo método descrito.
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
(b) nos pontos 2,4 e 8 (quadrático);
(b) nos pontos 2,4 e 8 (quadrático);