A função
é dada pela seguinte tabela:
| | |
| :---: | :---: |
| 0 | |
| 0.01 | 4.0379 |
| 0.02 | 3.3547 |
| 0.03 | 2.9591 |
| 0.04 | 2.6813 |
| 0.05 | 2.4679 |
| 0.06 | 2.2953 |
Através da fórmula de Newton, calcule para usando parábola e parábola cúbica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma integral, com alguns valores tabulados para diferentes valores de . A missão aqui é usar a **fórmula de Newton** para estimar o valor de quando . Vamos fazer isso de duas maneiras: usando uma parábola (polinômio de segundo grau) e uma parábola cúbica (polinômio de terceiro grau). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre **interpolação polinomial de Newton** e escolher os pontos certos da tabela para fazer as contas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos da tabela que estão mais próximos de . Olhando a tabela:
| | |
| :---: | :---: |
| 0.02 | 3.3547 |
| 0.03 | 2.9591 |
| 0.04 | 2.6813 |
| 0.05 | 2.4679 |
Vemos que está entre 0.03 e 0.04. Para a parábola, precisamos de três pontos, e para a cúbica, precisamos de quatro pontos. Vamos escolher os pontos mais próximos:
- **Para a parábola**: , , e .
- **Para a cúbica**: , , , e .
Passo 3
Agora, vamos construir os polinômios de interpolação usando a **fórmula de Newton**. Essa fórmula usa diferenças divididas para encontrar os coeficientes do polinômio.
**Para a parábola** ( , , ):
1. Organize os pontos:
- ,
- ,
- ,
2. Calcule as diferenças divididas:
-
-
-
3. O polinômio de Newton fica:
Substituindo:
**Para a parábola cúbica** ( , , , ):
1. Organize os pontos:
- ,
- ,
- ,
- ,
2. Calcule as diferenças divididas:
-
-
-
-
-
-
3. O polinômio de Newton fica:
Substituindo:
Passo 4
Agora que temos os polinômios, vamos avaliar em .
**Usando a parábola**:
Calculando cada termo:
**Usando a parábola cúbica**:
Calculando cada termo:
Resposta
Usando a fórmula de Newton:
- **Parábola**:
- **Parábola cúbica**:
Exercícios relacionados
Dada a tabela:
| | |
| :---: | :---: |
| 0.0 | 1.0000 |
| 0.1 | 1.3499 |
| 0.2 | 1.8221 |
| 0.3 | 2.4596 |
| 0.4 | 3.3201 |
| 0.5 | 4.4817 |
Calcule , onde usando polinômio de interpolação do grau.
Suspeita-se que a tabela:
| | |
| :---: | :---: |
| -3.0 | -9.0 |
| -2.0 | 0.0 |
| -1.0 | 1.0 |
| 0.0 | 0.0 |
| 1.0 | 3.0 |
| 2.0 | 16.0 |
represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.
Calcule o polinômio interpolador de grau menor ou igual a 4 que interpola a função nos pontos (use diferenças divididas). Utilize-o para estimar e estime o erro cometido.
Utilize a diferença dividida , com , para escrever