A função
é dada pela seguinte tabela:
|
|
---|---|
0 |
|
0.01 | 4.0379 |
0.02 | 3.3547 |
0.03 | 2.9591 |
0.04 | 2.6813 |
0.05 | 2.4679 |
0.06 | 2.2953 |
Através da fórmula de Newton, calcule
para
usando parábola e parábola cúbica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma integral, com alguns valores tabulados para diferentes valores de
. A missão aqui é usar a fórmula de Newton para estimar o valor de
quando
. Vamos fazer isso de duas maneiras: usando uma parábola (polinômio de segundo grau) e uma parábola cúbica (polinômio de terceiro grau). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial de Newton e escolher os pontos certos da tabela para fazer as contas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos da tabela que estão mais próximos de
. Olhando a tabela:
|
|
---|---|
0.02 | 3.3547 |
0.03 | 2.9591 |
0.04 | 2.6813 |
0.05 | 2.4679 |
Vemos que
está entre 0.03 e 0.04. Para a parábola, precisamos de três pontos, e para a cúbica, precisamos de quatro pontos. Vamos escolher os pontos mais próximos:
- Para a parábola:
, , e . - Para a cúbica:
, , , e .
Passo 3
Agora, vamos construir os polinômios de interpolação usando a fórmula de Newton. Essa fórmula usa diferenças divididas para encontrar os coeficientes do polinômio.
Para a parábola (
,
,
):
-
Organize os pontos:
-
, -
, -
,
-
-
Calcule as diferenças divididas:
-
-
O polinômio de Newton fica:Substituindo:
Para a parábola cúbica (
,
,
,
):
-
Organize os pontos:
-
, -
, -
, -
,
-
-
Calcule as diferenças divididas:
-
-
O polinômio de Newton fica:Substituindo:
Passo 4
Agora que temos os polinômios, vamos avaliar em
.
Usando a parábola:
Calculando cada termo:
Usando a parábola cúbica:
Calculando cada termo:
Resposta
Usando a fórmula de Newton:
- Parábola:
- Parábola cúbica: