A função
y=integralx^infty e^-tt d t
é dada pela seguinte tabela:
x f(x)
0 infty
0.01 4.0379
0.02 3.3547
0.03 2.9591
0.04 2.6813
0.05 2.4679
0.06 2.2953
Através da fórmula de Newton, calcule y para x=0.0378 usando parábola e parábola cúbica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma integral, com alguns valores tabulados para diferentes valores de . A missão aqui é usar a fórmula de Newton para estimar o valor de quando . Vamos fazer isso de duas maneiras: usando uma parábola (polinômio de segundo grau) e uma parábola cúbica (polinômio de terceiro grau). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial de Newton e escolher os pontos certos da tabela para fazer as contas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos da tabela que estão mais próximos de . Olhando a tabela:
0.02 3.3547
0.03 2.9591
0.04 2.6813
0.05 2.4679
Vemos que está entre 0.03 e 0.04. Para a parábola, precisamos de três pontos, e para a cúbica, precisamos de quatro pontos. Vamos escolher os pontos mais próximos:
  • Para a parábola: , , e .
  • Para a cúbica: , , , e .

Passo 3

Agora, vamos construir os polinômios de interpolação usando a fórmula de Newton. Essa fórmula usa diferenças divididas para encontrar os coeficientes do polinômio.
Para a parábola ( P2(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) , P2(x) = 2.9591 - 27.78(x - 0.03) + 322(x - 0.03)(x - 0.04) , P3(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2) ):
  1. Organize os pontos:
    • P3(x) = 3.3547 - 39.56(x - 0.02) + 589(x - 0.02)(x - 0.03) - 8900(x - 0.02)(x - 0.03)(x - 0.04) ,
    • ,
    • ,
  2. Calcule as diferenças divididas:
  3. O polinômio de Newton fica:
    Substituindo:
Para a parábola cúbica ( , , , ):
  1. Organize os pontos:
    • ,
    • ,
    • ,
    • ,
  2. Calcule as diferenças divididas:
  3. O polinômio de Newton fica:
    Substituindo:

Passo 4

Agora que temos os polinômios, vamos avaliar em P2(0.0378) = 2.9591 - 27.78(0.0378 - 0.03) + 322(0.0378 - 0.03)(0.0378 - 0.04) .
Usando a parábola:
= 2.9591 - 27.78(0.0078) + 322(0.0078)(-0.0022)
Calculando cada termo:
= 2.9591 - 0.2161 - 0.0055
= 2.7375
P3(0.0378) = 3.3547 - 39.56(0.0378 - 0.02) + 589(0.0378 - 0.02)(0.0378 - 0.03) - 8900(0.0378 - 0.02)(0.0378 - 0.03)(0.0378 - 0.04)
Usando a parábola cúbica:
= 3.3547 - 39.56(0.0178) + 589(0.0178)(0.0078) - 8900(0.0178)(0.0078)(-0.0022)
Calculando cada termo:
= 3.3547 - 0.7034 + 0.0816 + 0.3073
= 3.0352

Resposta

Usando a fórmula de Newton:
  • Parábola:
  • Parábola cúbica:

Exercícios relacionados