A função é dada pela seguinte tabela: | | | | :---: | :---: | | 0 | | | 0.01 | 4.0379 | | 0.02 | 3.3547 | | 0.03 | 2.9591 | | 0.04 | 2.6813 | | 0.05 | 2.4679 | | 0.06 | 2.2953 | Através da fórmula de Newton, calcule para usando parábola e parábola cúbica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma integral, com alguns valores tabulados para diferentes valores de . A missão aqui é usar a **fórmula de Newton** para estimar o valor de quando . Vamos fazer isso de duas maneiras: usando uma parábola (polinômio de segundo grau) e uma parábola cúbica (polinômio de terceiro grau). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre **interpolação polinomial de Newton** e escolher os pontos certos da tabela para fazer as contas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos da tabela que estão mais próximos de . Olhando a tabela: | | | | :---: | :---: | | 0.02 | 3.3547 | | 0.03 | 2.9591 | | 0.04 | 2.6813 | | 0.05 | 2.4679 | Vemos que está entre 0.03 e 0.04. Para a parábola, precisamos de três pontos, e para a cúbica, precisamos de quatro pontos. Vamos escolher os pontos mais próximos: - **Para a parábola**: , , e . - **Para a cúbica**: , , , e .

Passo 3

Agora, vamos construir os polinômios de interpolação usando a **fórmula de Newton**. Essa fórmula usa diferenças divididas para encontrar os coeficientes do polinômio. **Para a parábola** (, , ): 1. Organize os pontos: - , - , - , 2. Calcule as diferenças divididas: - - - 3. O polinômio de Newton fica: Substituindo: **Para a parábola cúbica** (, , , ): 1. Organize os pontos: - , - , - , - , 2. Calcule as diferenças divididas: - - - - - - 3. O polinômio de Newton fica: Substituindo:

Passo 4

Agora que temos os polinômios, vamos avaliar em . **Usando a parábola**: Calculando cada termo: **Usando a parábola cúbica**: Calculando cada termo:

Resposta

Usando a fórmula de Newton: - **Parábola**: - **Parábola cúbica**:

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Dada a tabela: | | | | :---: | :---: | | 0.0 | 1.0000 | | 0.1 | 1.3499 | | 0.2 | 1.8221 | | 0.3 | 2.4596 | | 0.4 | 3.3201 | | 0.5 | 4.4817 | Calcule , onde usando polinômio de interpolação do grau.
Suspeita-se que a tabela: | | | | :---: | :---: | | -3.0 | -9.0 | | -2.0 | 0.0 | | -1.0 | 1.0 | | 0.0 | 0.0 | | 1.0 | 3.0 | | 2.0 | 16.0 | represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.
Calcule o polinômio interpolador de grau menor ou igual a 4 que interpola a função nos pontos (use diferenças divididas). Utilize-o para estimar e estime o erro cometido.
Utilize a diferença dividida , com , para escrever