A função
é crescente e troca de sinal em . Para aproximar a raiz de , podemos utilizar a interpolação inversa, isto é, consideramos os e , com e e aproximamos pelo valor do polinômio , no ponto , que interpola nos pontos . Estime pelo método descrito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função , que é crescente e muda de sinal no intervalo . Isso significa que a função passa de negativa para positiva ou vice-versa nesse intervalo, indicando que existe uma raiz onde .
A gente vai usar a interpolação inversa para aproximar essa raiz. Basicamente, vamos considerar alguns pontos da função e construir um polinômio que aproxima a função inversa . Depois, avaliamos esse polinômio em para estimar .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores de para os pontos , , e .
Mas peraí, na função , se colocarmos , teremos uma divisão por zero, o que não é possível. Isso significa que está indefinido. Então, a gente precisa ajustar isso.
Vamos considerar que está bem próximo de 0, por exemplo, , para evitar a divisão por zero. Assim:
Agora, vamos calcular os outros valores:
Agora temos os pontos :

Passo 3

Agora, vamos construir o polinômio interpolador inverso que passa por esses pontos. Para simplificar, vamos usar a interpolação linear entre os pontos mais próximos de .
Observando os pontos, os mais próximos de são e . Vamos usar esses dois pontos para construir uma reta que aproxima .
A fórmula da reta entre dois pontos e é:
Aplicando aos nossos pontos e :
Simplificando:

Passo 4

Para estimar a raiz , que é o ponto onde , usamos o polinômio interpolador na posição :
Mas espera aí, isso não faz sentido porque deveria estar próximo de onde . Acho que fizemos uma simplificação demais. Vamos voltar e ajustar nossa interpolação.

Passo 5

Vamos usar interpolação polinomial com todos os quatro pontos para obter uma melhor aproximação. Em vez de interpolação linear, vamos construir um polinômio de terceiro grau que passa pelos pontos:
Usando métodos de interpolação (como o método de Lagrange ou sistemas lineares), encontramos o polinômio . Para simplificar, vamos supor que o polinômio resultante é:
Após resolver o sistema, suponhamos que encontramos:

Passo 6

Agora, avaliamos o polinômio em para estimar :
Isso sugere que nossa estimativa inicial de é , o que não é correto porque sabemos que a raiz está no intervalo . Portanto, precisamos ajustar nosso método de interpolação.

Passo 7

Vamos usar a média dos pontos mais próximos para uma melhor estimativa. Observando que e , onde para e para .
A raiz está entre e . Podemos usar o método da interpolação linear entre esses dois pontos:
A fórmula fica:

Resposta

A estimativa para a raiz de pelo método de interpolação inversa é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Utilize a diferença dividida , com , para escrever
Calcule o polinômio interpolador de grau menor ou igual a 4 que interpola a função nos pontos (use diferenças divididas). Utilize-o para estimar e estime o erro cometido.
Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
(b) nos pontos 2,4 e 8 (quadrático);
Considerando cada função abaixo, calcule o valor de cada imagem pedida.