Dada a tabela:
x e^3 x
0.0 1.0000
0.1 1.3499
0.2 1.8221
0.3 2.4596
0.4 3.3201
0.5 4.4817
Calcule f(0.25), onde f(x)=x e^3 x usando polinômio de interpolação do 2^circ grau.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma tabela com valores de para alguns valores de . A função que queremos calcular é , e precisamos encontrar usando um polinômio de interpolação de 2º grau. Para isso, vamos precisar dos valores de nos pontos próximos a e aplicar a interpolação polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(0,0) &= 0,0 times 1,0000 = 0,0000 f(0,1) &= 0,1 times 1,3499 = 0,13499 f(0,2) &= 0,2 times 1,8221 = 0,36442 f(0,3) &= 0,3 times 2,4596 = 0,73788 f(0,4) &= 0,4 times 3,3201 = 1,32804 f(0,5) &= 0,5 times 4,4817 = 2,24085 para os valores de que temos na tabela. A função é , então multiplicamos cada pelo correspondente :
Agora temos os pontos .

Passo 3

Vamos escolher três pontos que estão próximos de (0,1, 0,13499) (0,2, 0,36442) (0,3, 0,73788) para fazer a interpolação de 2º grau. Os pontos mais próximos são P(x) = f(x0) cdot (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) + f(x1) cdot (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) + f(x2) cdot (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) , e . Assim, temos:
Vamos usar a fórmula do polinômio de interpolação de Lagrange de 2º grau:
Onde , , .

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(0,25) &= 0,13499 cdot (0,25 - 0,2)(0,25 - 0,3)(0,1 - 0,2)(0,1 - 0,3) &+ 0,36442 cdot (0,25 - 0,1)(0,25 - 0,3)(0,2 - 0,1)(0,2 - 0,3) &+ 0,73788 cdot (0,25 - 0,1)(0,25 - 0,2)(0,3 - 0,1)(0,3 - 0,2)
Calculando cada fração:
P(0,25) &= 0,13499 cdot (0,05)(-0,05)(-0,1)(-0,2) &+ 0,36442 cdot (0,15)(-0,05)(0,1)(-0,1) &+ 0,73788 cdot (0,15)(0,05)(0,2)(0,1)
Simplificando:
P(0,25) &= 0,13499 cdot -0,00250,02 &+ 0,36442 cdot -0,0075-0,01 &+ 0,73788 cdot 0,00750,02
P(0,25) &= 0,13499 cdot (-0,125) &+ 0,36442 cdot 0,75 &+ 0,73788 cdot 0,375
Calculando cada termo:
P(0,25) &= -0,016874875 &+ 0,273315 &+ 0,276705
Somando tudo:
P(0,25) = 0,533145125

Resposta

Portanto, o valor de estimado pelo polinômio de interpolação de 2º grau é aproximadamente .

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