Calcule o raio da esfera inscrita num octaedro regular de lado
.
Passo 1
Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício de geometria sólido hoje. O problema pede para calcular o raio da esfera que cabe perfeitamente dentro de um octaedro regular, que tem todos os lados medindo
. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre polígonos regulares e como uma esfera pode ser inscrita neles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um octaedro regular. Ele é um sólido com 8 faces, todas elas sendo triângulos equiláteros. É como duas pirâmides de base quadrada, unidas na base.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o raio
da esfera inscrita nesse octaedro. A esfera inscrita é aquela que toca todas as faces do sólido exatamente em um ponto, sem sair nem ficar por dentro.
Passo 4
Para encontrar o raio da esfera inscrita, podemos usar a fórmula que relaciona o volume
do octaedro com a área da base
e a altura
:
Passo 5
Mas antes disso, precisamos encontrar a altura
do octaedro. Sabemos que em um octaedro regular, a altura pode ser relacionada ao lado
através da seguinte relação:
Passo 6
A área da base
de cada face triangular é:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Passo 8
Para uma esfera inscrita, o volume também pode ser expresso em termos do raio
e do volume do octaedro. A relação geral entre o raio da esfera inscrita e o volume do sólido é:
onde
Passo 9
Substituindo o valor de
e
na fórmula de
:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Resposta
O raio da esfera inscrita num octaedro regular de lado
é:
Exercícios relacionados
Qual o volume de um cilindro reto que pode ser construído com uma folha de papel retangular de dimensões
e
?
Calcule o volume, a área lateral e a área total de um cilindro reto cuja base mede
e altura mede
.
Um cone reto está inscrito em um tetraedro regular de lado
, encontre a proporção entre o volume dos dois objetos.
Determine a integral tripla em
para:
a)
b) ; em que
é a região abaixo do plano
e acima da região do plano
limitada por
.
c) , em que
é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
.
d) é o tetraedro sólido de vértices
.
R: a) 4
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
R: a) 4
b)
c)
d)