Calcule o raio da esfera inscrita num octaedro regular de lado l.

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício de geometria sólido hoje. O problema pede para calcular o raio da esfera que cabe perfeitamente dentro de um octaedro regular, que tem todos os lados medindo l. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre polígonos regulares e como uma esfera pode ser inscrita neles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um octaedro regular. Ele é um sólido com 8 faces, todas elas sendo triângulos equiláteros. É como duas pirâmides de base quadrada, unidas na base.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o raio R da esfera inscrita nesse octaedro. A esfera inscrita é aquela que toca todas as faces do sólido exatamente em um ponto, sem sair nem ficar por dentro.

Passo 4

Para encontrar o raio da esfera inscrita, podemos usar a fórmula que relaciona o volume V do octaedro com a área da base A e a altura h:
V = 13 A h

Passo 5

Mas antes disso, precisamos encontrar a altura h do octaedro. Sabemos que em um octaedro regular, a altura pode ser relacionada ao lado l através da seguinte relação:
h = raiz63 l

Passo 6

A área da base A de cada face triangular é:
A = raiz34 l^2

Passo 7

Agora, substituímos A e h na fórmula do volume:
V = 13 times raiz34 l^2 times raiz63 l = raiz212 l^3

Passo 8

Para uma esfera inscrita, o volume também pode ser expresso em termos do raio R e do volume do octaedro. A relação geral entre o raio da esfera inscrita e o volume do sólido é:
R = 3VAp
onde Ap é a área total das faces do octaedro. Como são 8 triângulos equiláteros:
Ap = 8 times raiz34 l^2 = 2raiz3 l^2

Passo 9

Substituindo o valor de V e Ap na fórmula de R:
R = 3 times raiz212 l^32raiz3 l^2 = raiz28 raiz3 l

Passo 10

Simplificando a expressão:
R = raiz612 l

Resposta

O raio da esfera inscrita num octaedro regular de lado l é:
R = raiz612 l

Exercícios relacionados