Calcule o raio da esfera inscrita num octaedro regular de lado .

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício de geometria sólido hoje. O problema pede para calcular o raio da esfera que cabe perfeitamente dentro de um octaedro regular, que tem todos os lados medindo . Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre polígonos regulares e como uma esfera pode ser inscrita neles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um octaedro regular. Ele é um sólido com 8 faces, todas elas sendo triângulos equiláteros. É como duas pirâmides de base quadrada, unidas na base.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o raio da esfera inscrita nesse octaedro. A esfera inscrita é aquela que toca todas as faces do sólido exatamente em um ponto, sem sair nem ficar por dentro.

Passo 4

Para encontrar o raio da esfera inscrita, podemos usar a fórmula que relaciona o volume do octaedro com a área da base e a altura :

Passo 5

Mas antes disso, precisamos encontrar a altura do octaedro. Sabemos que em um octaedro regular, a altura pode ser relacionada ao lado através da seguinte relação:

Passo 6

A área da base de cada face triangular é:

Passo 7

Agora, substituímos e na fórmula do volume:

Passo 8

Para uma esfera inscrita, o volume também pode ser expresso em termos do raio e do volume do octaedro. A relação geral entre o raio da esfera inscrita e o volume do sólido é:

onde é a área total das faces do octaedro. Como são 8 triângulos equiláteros:

Passo 9

Substituindo o valor de e na fórmula de :

Passo 10

Simplificando a expressão:

Resposta

O raio da esfera inscrita num octaedro regular de lado é:

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Determine a integral tripla em para:
a)
b) ; em que é a região abaixo do plano e acima da região do plano limitada por .
c) , em que é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , .
d) é o tetraedro sólido de vértices .
R: a) 4
b)
c)
d)