Determine a integral tripla em para:
a)
b) ; em que é a região abaixo do plano e acima da região do plano limitada por .
c) , em que é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , .
d) é o tetraedro sólido de vértices .
R: a) 4
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região . Primeiro, vamos entender o que é essa região . Ela é definida pelas desigualdades:
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas em coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender como os limites de integração estão organizados para configurar a integral tripla corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites para cada variável. O varia de 0 a 2. Para cada valor de , o varia de 0 até . Isso sugere que estamos dentro de um círculo de raio 2 no plano . Finalmente, para cada , o varia de 0 a .
Passo 3
Agora, configuramos a integral tripla. A função a ser integrada é , então a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Começamos integrando em relação ao . Como não depende de , a integral interna é:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, integramos em relação ao :
Então, a integral agora é:
Passo 6
Finalmente, integramos em relação ao :
Passo 7
Agora, vamos para a parte b). Precisamos calcular a integral tripla de sobre a região , que é a região abaixo do plano e acima da região do plano limitada por , e . Vamos identificar os limites de integração e configurar a integral.
Passo 8
Primeiro, entendemos a projeção da região no plano . As curvas que delimitarão essa região são:
Isso forma uma região onde varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a .
O varia do plano (onde ) até o plano .
Passo 9
Configuramos a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 10
Começamos integrando em relação ao :
Então, a integral fica:
Passo 11
Expande a expressão dentro da integral:
Agora, integramos em relação ao :
Passo 12
Agora, integramos em relação ao :
Passo 13
Vamos resolver a parte c). Precisamos calcular a integral tripla de sobre o sólido , que é delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Vamos primeiro entender os limites de integração.
Passo 14
O cilindro parabólico nos dá o limite superior para , e o plano é o limite inferior. As variáveis variam de a . Para cada , o deve satisfazer , ou seja, .
Passo 15
Configuramos a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 16
Primeiro, integramos em relação ao :
Então, a integral fica:
Passo 17
Podemos separar a integral em produtos de funções de e de , já que não há interação entre elas:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Para a parte de :
Para a parte de :
Essa integral requer integração por partes ou reconhecimento como uma combinação de integrais conhecidas. Vamos calcular:
Sabemos que:
E,
Aplicando os limites:
Passo 18
Multiplicando as duas partes:
Passo 19
Finalmente, vamos resolver a parte d). Precisamos calcular a integral tripla de sobre o tetraedro com vértices em , , e . Vamos identificar as equações que delimitam esse tetraedro.
Passo 20
Primeiro, observamos que o tetraedro está no espaço onde varia de 0 a 1. Para cada , varia de 0 a (já que entre e quando ). E para cada , varia de 0 até (pois no vértice , quando , ).
Passo 21
Configuramos a integral tripla:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 22
Primeiro, integramos em relação ao :
Então, a integral fica:
Passo 23
Integrando em relação ao :
Então, a integral fica:
Passo 24
No entanto, percebemos que há um erro nos limites de integração de . O limite superior de deve depender de e . Na realidade, observando os vértices, devemos ajustar os limites para .
Reavaliando, o tetraedro é delimitado pelas faces:
Sobre (pois vai de a )
E pelo plano que conecta a , que é
Então, os limites corretos são:
Corrigindo a integral:
Vamos resolver novamente.
Passo 25
Integrando em relação ao :
Então, a integral fica:
Passo 26
Distribuindo :
Integrando em relação ao :
Então, a integral fica:
Convertendo para denominador comum (240):
Passo 27
No entanto, parece que ainda há uma inconsistência com a resposta esperada de . Revisando os cálculos, percebemos que devemos considerar a simetria e os limites corretamente.