Determine a integral tripla em para:
a)
b) ; em que é a região abaixo do plano e acima da região do plano limitada por .
c) , em que é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , .
d) é o tetraedro sólido de vértices .
R: a) 4
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região . Primeiro, vamos entender o que é essa região . Ela é definida pelas desigualdades:
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas em coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender como os limites de integração estão organizados para configurar a integral tripla corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites para cada variável. O varia de 0 a 2. Para cada valor de , o varia de 0 até . Isso sugere que estamos dentro de um círculo de raio 2 no plano . Finalmente, para cada , o varia de 0 a .
Passo 3
Agora, configuramos a integral tripla. A função a ser integrada é , então a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Começamos integrando em relação ao . Como não depende de , a integral interna é:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, integramos em relação ao integral0^raiz4 - y^2 2xy , dx = 2y integral0^raiz4 - y^2 x , dx = 2y cdot ( x^22 ) g|0^raiz4 - y^2 = 2y cdot 4 - y^22 = y(4 - y^2) :
integral0^2 y(4 - y^2) , dy
Então, a integral agora é:
Passo 6
Finalmente, integramos em relação ao integral0^2 (4y - y^3) , dy = ( 2y^2 - y^44 ) g|0^2 = ( 2 cdot 4 - 164 ) - 0 = (8 - 4) = 4 :
Passo 7
Agora, vamos para a parte b). Precisamos calcular a integral tripla de sobre a região , que é a região abaixo do plano e acima da região do plano limitada por , e . Vamos identificar os limites de integração e configurar a integral.
Passo 8
Primeiro, entendemos a projeção da região y = raizx, y = 0, x = 1 no plano . As curvas que delimitarão essa região são:
Isso forma uma região onde varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 a .
O varia do plano (onde ) até o plano .
Passo 9
Configuramos a integral tripla com esses limites:
integral triplaE 6xy , dV = integral0^1 integral0^raizx integral0^1 + x + y 6xy , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 10
Começamos integrando em relação ao integral0^1 + x + y 6xy , dz = 6xy cdot z g|0^1 + x + y = 6xy(1 + x + y) :
integral0^1 integral0^raizx 6xy(1 + x + y) , dy , dx
Então, a integral fica:
Passo 11
Expande a expressão dentro da integral:
6xy(1 + x + y) = 6xy + 6x^2y + 6xy^2
Agora, integramos em relação ao integral0^raizx (6xy + 6x^2y + 6xy^2) , dy = 6x cdot y^22 + 6x^2 cdot y^22 + 6x cdot y^33 g|0^raizx :
Vamos resolver a parte c). Precisamos calcular a integral tripla de sobre o sólido , que é delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Vamos primeiro entender os limites de integração.
Passo 14
O cilindro parabólico nos dá o limite superior para , e o plano é o limite inferior. As variáveis variam de a . Para cada , o deve satisfazer , ou seja, .
Passo 15
Configuramos a integral tripla:
integral triplaE x^2 e^y , dV = integral-1^1 integral-1^1 integral0^1 - y^2 x^2 e^y , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 16
Primeiro, integramos em relação ao integral0^1 - y^2 x^2 e^y , dz = x^2 e^y cdot z g|0^1 - y^2 = x^2 e^y (1 - y^2) :
Podemos separar a integral em produtos de funções de integral-1^1 x^2 , dx cdot integral-1^1 e^y (1 - y^2) , dy e de integral-1^1 x^2 , dx = ( x^33 ) g|-1^1 = 13 - ( -13 ) = 23 , já que não há interação entre elas:
integral-1^1 e^y (1 - y^2) , dy
Vamos calcular cada parte separadamente.
Para a parte de integral-1^1 e^y , dy - integral-1^1 y^2 e^y , dy :
integral e^y , dy = e^y + C
Para a parte de integral y^2 e^y , dy = e^y(y^2 - 2y + 2) + C :
( e^1 - e^-1 ) - [ e^1(1 - 2 + 2) - e^-1(1 - (-2) + 2) ] = ( e - 1e ) - ( e(1) - 1e(5) ) = e - 1e - e + 5e = 4e
Essa integral requer integração por partes ou reconhecimento como uma combinação de integrais conhecidas. Vamos calcular:
Sabemos que:
E,
Aplicando os limites:
Passo 18
Multiplicando as duas partes:
23 cdot 4e = 83e
Passo 19
Finalmente, vamos resolver a parte d). Precisamos calcular a integral tripla de sobre o tetraedro com vértices em , , e . Vamos identificar as equações que delimitam esse tetraedro.
Passo 20
Primeiro, observamos que o tetraedro está no espaço onde varia de 0 a 1. Para cada , varia de 0 a (já que entre e quando ). E para cada , varia de 0 até (pois no vértice , quando , ).
Passo 21
Configuramos a integral tripla:
integral triplaT xyz , dV = integral0^1 integral0^x integral0^x xyz , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 22
Primeiro, integramos em relação ao integral0^x xyz , dz = xy cdot z^22 g|0^x = xy cdot x^22 = x^3 y2 :
integral0^1 integral0^x x^3 y2 , dy , dx
Então, a integral fica:
Passo 23
Integrando em relação ao integral0^x x^3 y2 , dy = x^32 cdot y^22 g|0^x = x^34 cdot x^2 = x^54 :
No entanto, percebemos que há um erro nos limites de integração de z <= 1 - y, y <= x, x <= 1 . O limite superior de integral triplaT xyz , dV = integral0^1 integral0^x integral0^1 - y xyz , dz , dy , dx deve depender de e . Na realidade, observando os vértices, devemos ajustar os limites para .
Reavaliando, o tetraedro é delimitado pelas faces:
Sobre (pois vai de a )
E pelo plano que conecta a , que é
Então, os limites corretos são:
Corrigindo a integral:
Vamos resolver novamente.
Passo 25
Integrando em relação ao integral0^1 - y xyz , dz = xy cdot z^22 g|0^1 - y = xy cdot (1 - y)^22 = xy(1 - 2y + y^2)2 :
No entanto, parece que ainda há uma inconsistência com a resposta esperada de 1144 . Revisando os cálculos, percebemos que devemos considerar a simetria e os limites corretamente.