Qual o volume de um cilindro reto que pode ser construído com uma folha de papel retangular de dimensões a e b ?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta é: Qual o volume de um cilindro reto que pode ser construído com uma folha de papel retangular de dimensões e ? Vamos usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre cilindros e como calcular seu volume. Precisaremos entender como transformar a folha de papel em um cilindro e aplicar as fórmulas apropriadas para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como transformar um retângulo em um cilindro. Imagina que a folha de papel pode ser enrolada de duas maneiras diferentes:
  1. Enrolar pelo lado de comprimento : Neste caso, o lado será o perímetro da base do cilindro e o lado será a altura do cilindro.
  2. Enrolar pelo lado de comprimento : Aqui, o lado será o perímetro da base e o lado será a altura.
Vamos explorar a primeira opção para entender como calcular o volume.

Passo 3

Quando enrolamos a folha pelo lado P = 2pi r , o perímetro da base do cilindro será igual a a = 2pi r . Sabemos que o perímetro de um círculo é dado por:
r = a2pi
Onde é o raio da base. Igualando os dois:
Podemos resolver para :

Passo 4

Agora que temos o raio, precisamos calcular o volume do cilindro. A fórmula do volume de um cilindro reto é:
V = pi r^2 h
Onde V = pi (a2pi)^2 b é a altura do cilindro. No nosso caso, . Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
V = pi (a^24pi^2) b = a^2 b4pi
Então, o volume do cilindro quando enrolamos a folha pelo lado é .

Passo 6

Para completar, se decidirmos enrolar a folha pelo lado V = b^2 a4pi , seguiríamos o mesmo raciocínio e obteríamos:

Resposta

O volume do cilindro reto que pode ser construído com a folha de papel retangular de dimensões V = a^2 b4pi e V = b^2 a4pi é dado por:
ou, se enrolar pelo lado :

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