Qual o volume de um cilindro reto que pode ser construído com uma folha de papel retangular de dimensões
e
?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta é: Qual o volume de um cilindro reto que pode ser construído com uma folha de papel retangular de dimensões
e
? Vamos usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre cilindros e como calcular seu volume. Precisaremos entender como transformar a folha de papel em um cilindro e aplicar as fórmulas apropriadas para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como transformar um retângulo em um cilindro. Imagina que a folha de papel pode ser enrolada de duas maneiras diferentes:
- Enrolar pelo lado de comprimento
: Neste caso, o lado será o perímetro da base do cilindro e o lado será a altura do cilindro. - Enrolar pelo lado de comprimento
: Aqui, o lado será o perímetro da base e o lado será a altura.
Vamos explorar a primeira opção para entender como calcular o volume.
Passo 3
Quando enrolamos a folha pelo lado
, o perímetro da base do cilindro será igual a
. Sabemos que o perímetro de um círculo é dado por:
Onde
é o raio da base. Igualando os dois:
Podemos resolver para
:
Passo 4
Agora que temos o raio, precisamos calcular o volume do cilindro. A fórmula do volume de um cilindro reto é:
Onde
é a altura do cilindro. No nosso caso,
. Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Então, o volume do cilindro quando enrolamos a folha pelo lado
é
.
Passo 6
Para completar, se decidirmos enrolar a folha pelo lado
, seguiríamos o mesmo raciocínio e obteríamos:
Resposta
O volume do cilindro reto que pode ser construído com a folha de papel retangular de dimensões
e
é dado por:
ou, se enrolar pelo lado
:
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e altura mede
.
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.
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, encontre a proporção entre o volume dos dois objetos.