Um cone reto está inscrito em um tetraedro regular de lado , encontre a proporção entre o volume dos dois objetos.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um cone reto inscrito em um tetraedro regular com lado de comprimento . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a proporção entre o volume do cone e o volume do tetraedro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as fórmulas de volume tanto para o cone quanto para o tetraedro, e como eles se relacionam quando um está dentro do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume do tetraedro regular. Um tetraedro regular é um sólido com quatro faces triangulares equiláteras. A fórmula para o volume é:
Onde é o comprimento de cada aresta do tetraedro.

Passo 3

Agora, vamos pensar no cone inscrito nesse tetraedro. Um cone reto tem uma base circular e a altura perpendicular a essa base. Como o cone está inscrito no tetraedro, a base do cone está na base do tetraedro, e a altura do cone é igual à altura do tetraedro.

Passo 4

Vamos precisar calcular a altura do tetraedro para determinar a altura do cone. A altura de um tetraedro regular pode ser calculada por:

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio da base do cone. No tetraedro regular, a base do cone está inscrita na base triangular do tetraedro. O raio da circunferência inscrita em um triângulo equilátero de lado é:

Passo 6

Com o raio e a altura do cone conhecidos, podemos usar a fórmula do volume do cone, que é:
Substituindo os valores de e :

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, calcule :
Agora, substitua na fórmula do volume do cone:

Passo 8

Agora, temos os volumes do tetraedro e do cone:
Queremos a proporção :

Resposta

A proporção entre o volume do cone e o volume do tetraedro é , ou aproximadamente 0,604. Isso significa que o volume do cone é cerca de 60,4% do volume do tetraedro.

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Determine a integral tripla em para:
a)
b) ; em que é a região abaixo do plano e acima da região do plano limitada por .
c) , em que é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , .
d) é o tetraedro sólido de vértices .
R: a) 4
b)
c)
d)
Determine: