Um cone reto está inscrito em um tetraedro regular de lado l, encontre a proporção entre o volume dos dois objetos.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um cone reto inscrito em um tetraedro regular com lado de comprimento . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a proporção entre o volume do cone e o volume do tetraedro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as fórmulas de volume tanto para o cone quanto para o tetraedro, e como eles se relacionam quando um está dentro do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume do tetraedro regular. Um tetraedro regular é um sólido com quatro faces triangulares equiláteras. A fórmula para o volume Vtetra = l^36raiz2 é:
Onde é o comprimento de cada aresta do tetraedro.

Passo 3

Agora, vamos pensar no cone inscrito nesse tetraedro. Um cone reto tem uma base circular e a altura perpendicular a essa base. Como o cone está inscrito no tetraedro, a base do cone está na base do tetraedro, e a altura do cone é igual à altura do tetraedro.

Passo 4

Vamos precisar calcular a altura do tetraedro para determinar a altura do cone. A altura htetra = raiz63 cdot l de um tetraedro regular pode ser calculada por:

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio da base do cone. No tetraedro regular, a base do cone está inscrita na base triangular do tetraedro. O raio r = l2raiz3 da circunferência inscrita em um triângulo equilátero de lado é:

Passo 6

Com o raio e a altura do cone conhecidos, podemos usar a fórmula do volume do cone, que é:
Vcone = 13 pi r^2 h
Substituindo os valores de Vcone = 13 pi ( l2raiz3 )^2 cdot raiz63 l e :

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, calcule ( l2raiz3 )^2 = l^24 cdot 3 = l^212 :
Vcone = 13 pi cdot l^212 cdot raiz63 l = 13 pi cdot l^3 raiz636 = pi l^3 raiz6108
Agora, substitua na fórmula do volume do cone:

Passo 8

Agora, temos os volumes do tetraedro e do cone:
Vtetra = l^36raiz2 e Vcone = pi l^3 raiz6108
Queremos a proporção VconeVtetra = pi l^3 raiz6108l^36raiz2 = pi raiz6108 cdot 6raiz21 = pi raiz1218 = pi cdot 2raiz318 = pi raiz39 :

Resposta

A proporção entre o volume do cone e o volume do tetraedro é , ou aproximadamente 0,604. Isso significa que o volume do cone é cerca de 60,4% do volume do tetraedro.

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