Um cone reto está inscrito em um tetraedro regular de lado
, encontre a proporção entre o volume dos dois objetos.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um cone reto inscrito em um tetraedro regular com lado de comprimento
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a proporção entre o volume do cone e o volume do tetraedro. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as fórmulas de volume tanto para o cone quanto para o tetraedro, e como eles se relacionam quando um está dentro do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume do tetraedro regular. Um tetraedro regular é um sólido com quatro faces triangulares equiláteras. A fórmula para o volume
é:
Onde
é o comprimento de cada aresta do tetraedro.
Passo 3
Agora, vamos pensar no cone inscrito nesse tetraedro. Um cone reto tem uma base circular e a altura perpendicular a essa base. Como o cone está inscrito no tetraedro, a base do cone está na base do tetraedro, e a altura do cone é igual à altura do tetraedro.
Passo 4
Vamos precisar calcular a altura do tetraedro para determinar a altura do cone. A altura
de um tetraedro regular pode ser calculada por:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio da base do cone. No tetraedro regular, a base do cone está inscrita na base triangular do tetraedro. O raio
da circunferência inscrita em um triângulo equilátero de lado
é:
Passo 6
Com o raio e a altura do cone conhecidos, podemos usar a fórmula do volume do cone, que é:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro, calcule
:
Agora, substitua na fórmula do volume do cone:
Passo 8
Agora, temos os volumes do tetraedro e do cone:
Queremos a proporção
:
Resposta
A proporção entre o volume do cone e o volume do tetraedro é
, ou aproximadamente 0,604. Isso significa que o volume do cone é cerca de 60,4% do volume do tetraedro.
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Calcule o raio da esfera inscrita num octaedro regular de lado
.
Qual o volume de um cilindro reto que pode ser construído com uma folha de papel retangular de dimensões
e
?
Determine a integral tripla em
para:
a)
b) ; em que
é a região abaixo do plano
e acima da região do plano
limitada por
.
c) , em que
é o sólido delimitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
.
d) é o tetraedro sólido de vértices
.
R: a) 4
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
R: a) 4
b)
c)
d)
Determine: