Seja
e
. Se
, encontre
com
, usando:
o MPF
, verifique as condições de convergência.
o MPF
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar um valor
no intervalo (0,1) que satisfaça essa equação usando o Método do Ponto Fixo (MPF).
Para isso, vamos usar a função
e começar com um palpite inicial
. Queremos que nossas aproximações sejam precisas até uma tolerância de
.
Vamos precisar entender como funciona o MPF, verificar as condições de convergência para garantir que nosso método vai funcionar, e então iterar até encontrar o valor de
com a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método do Ponto Fixo. A ideia é transformar nossa equação
em uma forma
, onde
é uma função que, quando iterada, converge para a solução
.
No nosso caso, já temos
. Assim, nossa iteração vai ser:
Começamos com
e vamos calcular
até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que
.
Passo 3
Antes de começar a iterar, é importante verificar se o MPF vai realmente convergir para a solução. Para isso, verificamos a condição de convergência:
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, avaliamos
no intervalo (0,1):
Como
é contínua e menor que 1 nesse intervalo, as condições de convergência são satisfeitas. Ou seja, nosso método vai funcionar e convergir para a solução
.
Passo 4
Agora, vamos começar as iterações do MPF.
Iteração 0:
Iteração 1:
Como a diferença ainda é maior que a tolerância, precisamos continuar.
Iteração 2:
Ainda acima da tolerância, seguimos.
Iteração 3:
Continuamos o processo.
Iteração 4:
Ainda não atingimos a precisão desejada.
Iteração 5:
Continuamos.
Iteração 6:
A diferença agora é menor que
, então paramos as iterações.
Resposta
O valor aproximado de
é
com uma precisão de
.