Seja f(x)=e^x-4 x^2 e xi in(0,1). Se x0=0,5, encontre xi com epsilon1=epsilon2=10^-4, usando:
o MPF com varphi(x)=12 e^x2, verifique as condições de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar um valor no intervalo (0,1) que satisfaça essa equação usando o Método do Ponto Fixo (MPF).
Para isso, vamos usar a função e começar com um palpite inicial . Queremos que nossas aproximações sejam precisas até uma tolerância de .
Vamos precisar entender como funciona o MPF, verificar as condições de convergência para garantir que nosso método vai funcionar, e então iterar até encontrar o valor de com a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método do Ponto Fixo. A ideia é transformar nossa equação xn+1 = varphi(xn) = 12 e^xn2 em uma forma , onde é uma função que, quando iterada, converge para a solução .
No nosso caso, já temos . Assim, nossa iteração vai ser:
Começamos com e vamos calcular até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que .

Passo 3

Antes de começar a iterar, é importante verificar se o MPF vai realmente convergir para a solução. Para isso, verificamos a condição de convergência:
|varphi'(x)| < 1 para todo x in (0,1)
Vamos calcular a derivada de varphi'(x) = ddx ( 12 e^x2 ) = 14 e^x2 :
varphi'(0) = 14 e^0 = 14 < 1
Agora, avaliamos varphi'(1) = 14 e^12 approx 14 times 1,64872 approx 0,41218 < 1 no intervalo (0,1):
Como é contínua e menor que 1 nesse intervalo, as condições de convergência são satisfeitas. Ou seja, nosso método vai funcionar e convergir para a solução .

Passo 4

Agora, vamos começar as iterações do MPF.
Iteração 0:
x0 = 0,5
Iteração 1:
x1 = varphi(x0) = 12 e^0,52 = 12 e^0,25 approx 12 times 1,2840254167 approx 0,6420127084
|epsilon1| = |x1 - x0| = |0,6420127084 - 0,5| = 0,1420127084 > 10^-4
Como a diferença ainda é maior que a tolerância, precisamos continuar.
Iteração 2:
x2 = varphi(x1) = 12 e^0,64201270842 = 12 e^0,3210063542 approx 12 times 1,379389 approx 0,6896945
|epsilon2| = |x2 - x1| = |0,6896945 - 0,6420127084| approx 0,0476818 > 10^-4
Ainda acima da tolerância, seguimos.
Iteração 3:
x3 = varphi(x2) = 12 e^0,68969452 = 12 e^0,34484725 approx 12 times 1,414226 approx 0,707113
|epsilon3| = |x3 - x2| = |0,707113 - 0,6896945| approx 0,0174185 > 10^-4
Continuamos o processo.
Iteração 4:
x4 = varphi(x3) = 12 e^0,7071132 = 12 e^0,3535565 approx 12 times 1,424052 approx 0,712026
|epsilon4| = |x4 - x3| = |0,712026 - 0,707113| approx 0,004913 > 10^-4
Ainda não atingimos a precisão desejada.
Iteração 5:
x5 = varphi(x4) = 12 e^0,7120262 = 12 e^0,356013 approx 12 times 1,428554 approx 0,714277
|epsilon5| = |x5 - x4| = |0,714277 - 0,712026| approx 0,002251 > 10^-4
Continuamos.
Iteração 6:
x6 = varphi(x5) = 12 e^0,7142772 = 12 e^0,3571385 approx 12 times 1,429983 approx 0,714992
|epsilon6| = |x6 - x5| = |0,714992 - 0,714277| approx 0,000715 < 10^-4
A diferença agora é menor que , então paramos as iterações.

Resposta

O valor aproximado de é com uma precisão de .

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