Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão epsilon1=epsilon2=0,0001 :
f(x)=3 x-cos (x)+1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando o método da bissecção! A equação que temos é:
f(x) = 3x - cos(x) + 1 = 0
Vamos precisar entender o que é o método da bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas. Basicamente, a gente escolhe um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, f(a) * f(b) < 0), e vai dividindo esse intervalo ao meio até encontrar a raiz com a precisão desejada, que aqui é .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um intervalo f(0) = 3(0) - cos(0) + 1 = -1 + 1 = 0 onde a função muda de sinal. Isso significa que f(-1) = 3(-1) - cos(-1) + 1 = -3 - cos(1) + 1 approx -3 - 0,5403 + 1 = -2,5403 e f(1) = 3(1) - cos(1) + 1 = 3 - 0,5403 + 1 = 3,4597 têm sinais opostos.
Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observamos que em , e em , . Apesar de , que já seria uma raiz exata, vamos considerar um pequeno intervalo para aplicar o método da bissecção. Vamos escolher .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da bissecção. O passo básico é:
  1. Calcular o ponto médio .
  2. Avaliar .
  3. Determinar em qual subintervalo ou a função muda de sinal.
  4. Repetir o processo até que o intervalo seja menor que a precisão desejada.
Vamos começar:
Iteração 1:
  • ,
  • Como e , o sinal mudou entre e . Então, atualizamos .
Iteração 2:
  • ,
  • e , então atualizamos .
Iteração 3:
  • ,
  • e , então atualizamos .
Itera�o 4:
  • ,
  • e , então atualizamos .
Iteração 5:
  • ,
  • e , então atualizamos .
Iteração 6:
  • ,
  • e , então atualizamos .
Continuando esse processo, percebemos que o valor de está sempre positivo quando . Isso indica que a raiz exata é , já que .

Resposta

A raiz da equação utilizando o método da bissecção com precisão é .

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