Determine um valor aproximado para raiz5, com precisão de 10^-2 ou um máximo de 6 iterações, utilizando o: Método da Bisseção

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Queremos encontrar uma aproximação para a raiz quadrada de 5, ou seja, raiz5, com uma precisão de 10^-2 (que significa até duas casas decimais) ou usando no máximo 6 iterações. Para isso, vamos usar o Método da Bisseção, que é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas.

Passo 2

O Método da Bisseção requer que a gente encontre um intervalo f(a) times f(b) < 0 onde a função muda de sinal, ou seja, onde f(x) = x^2 - 5. Vamos considerar a função x, porque queremos encontrar o valor de x^2 = 5 que satisfaz .

Passo 3

Vamos escolher dois valores para a e b onde f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Por exemplo, se a = 2, então f(2) = 2^2 - 5 = -1. Se b = 3, então f(3) = 3^2 - 5 = 4. Como -1 times 4 < 0, sabemos que a raiz está entre 2 e 3.

Passo 4

Agora, vamos calcular o ponto médio do intervalo: c = a + b2 = 2 + 32 = 2.5. Avaliando f(c): f(2.5) = 2.5^2 - 5 = 6.25 - 5 = 1.25. Como f(c) > 0, a raiz está entre a = 2 e c = 2.5.

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo c = 2 + 2.52 = 2.25. Calculamos o novo ponto médio: f(2.25) = 2.25^2 - 5 = 5.0625 - 5 = 0.0625. Avaliando f(c) > 0. Como a = 2, a raiz está entre c = 2.25 e .

Passo 6

Continuamos com o intervalo c = 2 + 2.252 = 2.125. Novo ponto médio: f(2.125) = 2.125^2 - 5 = 4.515625 - 5 = -0.484375. Avaliando f(c) < 0. Agora, como c = 2.125, a raiz está entre b = 2.25 e .

Resposta

Após 3 iterações, a aproximação para raiz5 é aproximadamente 2.25 com uma precisão de 10^-2.

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